U= A COS. Ç + B C08.U + C COS. C

on obtiendra

- : ,; ■• /■.■•.; \ U=m [(n + I ) (/>'cds.Ç-^î COS. Ç)/?î^"-cos.

Or, l'angle \ peut être exprimé au moyen de C; car, en désignant par h la perpendiculaire OK abaissée du centre O sur le plan &AG pour lequel on calcule la valeur de U, on aura A =^ oos.Ç + p oos. E , et cette valeur deviendra

u=n,- ((»+ ,)[(^>+,-)c<».i:-/.î]/iiJj^:-««.;/^)-

L'évaluation en est bien simple dans le cas où le rayon m est très -petit par rapport à la distance / de l'origine A au centre O; car, si on la développe en série suivant les puissances de m, on verra que quand on néglige les puissances de ni supérieures à 3, les termes eu s évanouissent entre les limites o,aic, et que ceux en m* s'obtiennent en remplaçant r par l==i\/p^l^ \ il ne reste alors qu'à calculer les valeurs de

J^mi,'tidm et de Jdu depuis ii=o jusqu'à w.==air;

£LECT&0-0¥KAM IQU£S. 53

ce qni donne k pour la prraiwre, et a* pour la aewade; la valeur de U se réduit donc à

Pour plus de généralité, nous allons supposer maintenant que le courant fermé, au lieu d'être circulaire , ait une forme quelconque , mais sans cesser d'être plan et très-petit.

Soit MNL(ng. i5) un irés-petit circuit fermé et plan dont l'aire soit X et qui agisse sur un élément placé à l'origine A. Partageons sa surface en éléments infiniment petits , par des plans passant par l'axe des et soit ÂPQ la trace d'un de ces plans , et M , N ses points de rencontre avec le circuit X , projetés sur le plan des xjr en P et Q. Prolongeons la corde MN jusqu'à Taxe des z en G; abaissons de A une perpendiculaire AEs^q sur le plan du drcnit , et joignons EG. Soit Apq la trace d'un plan infiniment voisin da premier, faisant avec celui-ci un angle d 9 ; faisons AP=» et PQ=}». L'action da circuit sur Fëlement en A dépend , comme nous l'avons vu , de trois intégrales désignées par A , B , C, que nous allons calculer. Considérons d'abord G, dont la valeur est

Cette intégrale est relative à tons les points du circuit, et si Ton consid^ simultanément les deux éléments compris entre les deux plans voisins AGNQ et AGis^, et qui se rapportent k des valeurs égales et des signes contraires de'df , on verra que les actions de ces deux éléments doivetit être ^ées Tune de l'autre , et que celle de rélément qui est le plus

54 TH'^ORIB DBS PRéNO«àllB8

près de A produit l'action la plus forte. Observant que pour avoir l action du plus éloigne, il faut remplacer w et /• par u + iu et r+ èr, on trouve

J r'^' J Kr + ir)"*-**

ces deux intégrales étant prises entre les deux valeurs de 9 relatives aux points extrêmes L,L' eotre iesqiiels est compris le circuit.

La {lilFérence de ces deux intégrales pouvant être considérée comme la variation de la première prise en signe contraire , lorsqu'on néglige toutes les puissances des dimensions du circuit dont les exposants surpassent l'unité, il vient

,rs= - ,

d'ailleurs langle ZÂE étant égal à Ci on a

AG=: GHssZ-^

et, à caïue des triangles semblables M HGfMSN,..