TB^ORIE DES PHI-NOMÈNBS

On pourrait eneore lui donner la forme suiYatite :

Examinons maintenant ce qui résulte du troisième cas d'équilibre dont nous avons parlé, et qui démontre que la composante de Faction d'un circuit fermé quelconque sur un élément, suivant la direction de cet élément, est toujours nulle, quelle que soit la forme du drcuit. En désignant par l'élément en question, l'action d'un élément ds du circuit fermé sur d/ sera, d'après ce qui précède ,

— «Vd/.r-— ' -i^;^ d/,

ou , en remplaçant ^ par — ces. 6',

u as r' — * -i — = i ds;

as '

la composante de cette action suivant d^' s'obtiendra en multipliant cette expression par coa. S', et sera

*Vd#>---*co«.e'i^i^^2î£2d/.

df

Cette diCEérentieUe intégrée dans toute l'étendue du circuit s donnera la composante tangente totale, et devra être nulle, quelle que soit la forme de ce circuit Ën rint^;rant par partie , après l'avoir écrite ainsi

nous aurons

éLBCTRO- DYNAMIQUE

l ii'ds' l^r'-^cos.'ô — (i — n — aÀ) yr-"cos.'6'drj •

Le premier terme r*— "cos.'ft' s'évanouit aan limites. Quant

à l'intégrale J r—"cos."(i dr, il est très-facile de concevoir un

éircuit fermé pour lequel elle ne se réduise pas à zéro. En effet, si on coupe ce circuit par des sur[\iccs sphériques trèsrapprochées ayant pour centre le milieu de l'élément ds' , les deux points oii cliacune de ces sphères coupera le circuit donneront la môme valeur pour r et des valeurs égnles et désignes contraires pour d/;mais les valeurs de cos.'O' pourront être différentes, et il v aura une infinité de manières de faire en sorte que les carrés de tous les cosinus relatifs aux points situés d'un même côté entre les points extrêmes du circuit soient moindres que ceux relatifs aux points correspondants de l'autre côté; or, dans ce cas, l'intégrale ne s'évanouira pas; et comme iexpr^ion ci- dessus doit être nulle, quelle que soit la forme du circuit, il hat donc que le coefficient t — »— de cette intégrale soit nul, ce qui donne entre fittk cette premi^ relation 1 — »— aAssso.

Avant de chercher une seconde équation pour déterminer ces deux constantes, nous commencerons par prouver que k est n^atif, èt, par conséquent, queis= i — est plus grand que I ; nous aurons recours pour cela à un &it bien facile à constater par Fespérience, savoir qu'un conductenv recti-* ligne indéfini attire un circuit fermé, quand le courant électrique de ce circuit va dans le m^me sens que celui dii conducteur dans la partie qui en est la plus voisine, et qu!il le repousse dans le cas contraiie.

Soit UV (fig. 7) le conducteur rectiligne indéfini; suppo-

38 TH^OHIB DBS PH^ITOMfcfrBS

sons pour plus de simplicité que le circuit ferme' T H K T K'H' soit dans le même plan que le fil conducteur UV, et cherchons l'action exercée par un élément quelconque M M de ce dernier. Pour cela tirons du milieu A de cet élément des rayons vecteurs à toos ces points du circuit, et cherdions Taction perpendiculaire à UV exercëe par cet âéoœot sur le circuit.

La composante perpendiculaire à IJY de faction exercée par MM'asd/sor an élément KHssdif s'obtiendra.en mol* tipliant reipressionde.cetle action par sin.O'; elle sera donc, en observant que i — n — a^=r;o,

ou*

-ird/.tangét — — ^dt,

expression qui doit être int^rée dans toute Télendae du. circuit. L'int^ration par parties donnera

i iTd/' (r»'sin. ô' COS.Ô' — y r» *dô'^ .

Le premier terme s'évanouissant aux limites, il reste seulement

Considérant maintenant les deux- éléments KH,K'H' compris entre lés deux mêmes rayons con8écuti&, dO' est lé même de part et'd'autre, mais doit être pris avec un signe contraire, en sorte qu'en fiusant AHsar, AH'=r^, on a pour Taction i^nie des deux éléments.

OÙ nons supposons que r' est plus grand que r. Le terme de cette intégrale qui résulte de l'action de la partie THT' convexe vers U V l'emportera sur celui qui est produit par l ac- ' tiûn de la partie concave TH'lTsi k est négatif; le contraire •om lien « k eat positif, et il n'y tara pas d'action si.^ est nul. Las'Wiènies conséquences ayant lieu pour tons les âëmenis de UV, il s'ensuit que la partie convexe vers UV* aura pins •d'inflnenoe sar le mouvement du circuit que la partie oon^ •oave, ai ^<o, autant si i=o, et moins si k>iï. Or l'expo rience prouve qu'elle en a davantiige. On a donc Jl< o , etpar suite i>> I, puisque »=^i— a ^.

On dëdoitdelàcette conséquence remarquable f queles par» lies d'un même courantrectilignese repoussent ; car si l'on fiiit |3so,t^=o, la formule qui doniie l'attraction de deux'âë-

ments devient l^'*éfËi • et comme elle est négative, puisque

l'est, il y a re'pulsion. C'est ce que j'ai vérifié par l'expérience que je vais décrire. On prend un vase de verre PQ (fig. 8) séparé par la cloison MN en deux compartiments égaux et remplis de mercure, ou y place un fil de cuivre recouvert de soie ABCDE, dont les branches AB,ED, situées parallèlement à la cloison MN, flottent sur le mercure avec lequel communiquent les extrémités nues A et E de ces branches. En mettant les rhéopliores dans les capsules S et T , dont le mercure communique avec celui du vase PQ par les portions de conducteur A H , A K , on établit deux courants, dont chacun a pour conducteur une partie de mercure et une partie solide: quelle que soit la direction du courant, on voit toujours les deui/filft AB,£D marcher parallèlement à la cloison M N en s'éloignant des points U et K, ce qui indique une répul-

- TUtfOAIB .OBt .PHliNOMilf ES

•ion pôur.diaque fil entre .le contant ^abli dant le meraltie et son prolongement dans le fil loi^mâtoe. Snitant le aens du courant, le mouvement du fil de cuivre est plus ou moins fitcile , parce que , dans un , Faction exercée par le globe sur k portion BCD de ce fil , s'ajoute à Tefifet obtenu, et que dans •fautre au contraire, elle le diminue et doit en être retranchée.

Examinons maintenant IWion qu*exerce un oouj^nt léleotorique formant un circuit formé, ou un «ystème de courants formant aussi des circuits fermés, sur un élément de courant électrique* \ .

Prenons Torigine des coordonnées au milieu A (fig.^) de l'élément proposé M'N', et nommons x^ix.v, les angles qu'il fait avec les trois axes. Soit MN un élément ^pieloonqne du courant formant un circuit fermé, ou d'un des ooniants for> roant également des circuits fermés dont se compose le sys* tëme de courants que Von considère, en nommant d / et d j les éléments M'N'.MN, r la distance A A' de leurs milieux et $' l'angle du courant M N' avec A A', la formule que nous avons trouvée précédemment pour exprimer l'action mutuelle des

deux éléments deviendra ^ en y remplaçant j- p^r — cos.1',

Les angles que  A' fait avec les trois axes ayant pour cosinus

iYd*V

d(f cos.fl^jdj

on a

COS.6' = -COS.XH- -COS.uL-1- -cos.v:

en substituant cette valeur à cos.6, et en multipliant par -p,

nous trouverons pour l'expression de la composante suivant , laxe des x ,

iLBGTRO-DYMAKIQVBS. 4'

ii'A/r^~ ' «d(r*~ * *oo5.X+ r*~' jcos. + r*" 'acofl.¥) 9

le signe d se rapportant seulement, excepté dans le facteur As' , aux difrërenticlles prises en ne faisant varier que s, cette expression peut s'écrire ainsi

=<( d/ l^cos.Xr «d^r xJ-^ — ^d^r.

«iiTd^^ [co».xd (r»*-*x') + Jcos.{td(r"*- V)

+ fco..vd(r=*^-^»')] y / 1 jr*cet.>-<-xyco8.pL-t-*I<og.y j^'co8.(i. ^ j

en remplaçant ail— a par sa valenr — n — i.

Si Ton repràente par ri,«„l^ et r,^«,,|',^ tes yaleurs de r, X, ¥^ aux deux extrémitéi de l'arc *, et par X k résultante suivant l'axe des » de tontes les foroea exeroëies par les éléments de oet arc snr d/i on «nra

X«jM di — H.eos.|ty

Si cet arc forme un circuit fermé r,,a;.,6'. seront égaux à

'4a TBiÊ^fr^ ' ditis- Pli N o»K>ir bs

r.,â;.,e'. , et la Talear de X m ràJmn à

=- « d* (^OM. |t y — 7=;f7 008. V y — — — J.

En désignant par Y et Z les forces tfaÎTant les axes des ^ et des z résultant de raction des mêmes éléments sur d^', on trouTera par un calcul semblable

Z=i«-'d.'(««..x/î^^'-co..p/ii5^ ,

et en faisant

il viendra

X=^ tf'd^'(Gcos.p. — Bcos.v),

' Y=iti"d/(Acos.«— Geos.x),

Zss^ffTd/(Bcos.xwJAcôs.{t).

En' liraltîpliant la prémitère'de ces é^tions) par A , la secoude par B et la troisième par G, ^bn «trouve A X +BY«4* CZ=o;et si l*on conçoit par l'origine une droite Â'£ qui fasse avec les axesdes angles d6nt leseosinus soientrëBpectÎYémeat

= COS. , P COS. n. f 0 = COS. , en' supposant, pour abr^r,

]fl.BCTftQ*>DTftAlflQOBS.

elle sera perpendiculaire sur la résultante Rdes trois forces X, Y,Z , qui faiuvec axes des augles don,% Içs cosinus S9nt^

pniaqB'on a, en-Teitu de Ti^quation précédente,

T! est à remarquer que la droite que nous venons de déter,miner est tout-à-fait indépendante de la direction de l'élément M' N'; car elle se déduit immédiatement des intégrales A, B, C qui ne dépendent que du circuit termé et do la position des plans coordonnés, et qui sont les sommes des projectioDS sur les plans coordonoës des aires des triangles qui ont kiir somoMt au milieu de Mément à/, et peur bases . les diflEtreots .éléinents des eircnits fermés s, tontes ces aires étratdiijséM par la puissênoe » + t du rayon vecteur r, La résultante étant perpendicnlaire sur cette droite A'£ que je nommerai directrice, elle se tronye, quelle que soit la direo> * tion de l'élément, dans le plan élevé au point A' perpendi-

- cttlairement à A'B; je donnerai à ce plan le nom de plan directeur. Si Ton (ait la sommedes carrés de X,Y,Z, on trou- Yera pour valeur de la résultante de l'action du circuit unique ou de l'ensemble devCircuits que Ton considère,

R= -Du df t/(cOS. 1^ COS. ft— COS.1|,C<M. V)*-4- («M. ^ COS. «— COS.|^GOS.X)*+ (cm. — CO».^, COS.|t)^

on, en.appelant «J'angle de.l'élsment d/ avec la directrice,

R = ^D«'d*'8in.e.

Il est facile de déterminer la composante de cette action dans un plan donne passant par lele'mcnt ds et faisant un angle 9 avec le plan mené p;is d/ et la directrice. En effet , la résultante R étant perpendiculaire à ce dernier plaiii sa composante sur le plan donné sera

Rnii.ff ou ^Où'd^'sin.tsiu.f.

Or,sin. s sin. 9 est égal au sinus de l'angle ^ que la directrice fiût avec le plan donné. C'est ce que l'on déduit immédiatement de l'angle trièdfe fimné ptr dr'^ par la directrice et par sa projection sur le plan donné. La composante dans ce plan aura donc pour expression

^Dȕ'dj'sin.f

Cette expression peut sis mettre sons une autre forme en observant que 4* est le complément de l'angle que fiût la di' tectrice avec la normale au plan dans lequel on considère l'action. On a donc, en nommant ^, C les angles que cette dernière droite forme avec les trois axes,

sin. ces. Ç + gcos. n 4- g cos. Ç, et Texpression de l'action devient

i iVd / ( A cos. S 4- B coft. n H- Ccos. ,

ou

en faisant

^LBCTaO-DTHAHIQOBS.

U = A COS. Ç + B COS. u -4- C COS.

. On voit que cette action est indépendante de la direction de Félément dans le plan que l'on consid^, nous la désignerons soua le nom d'action exercée dans ce plan, et nous conclurons de ce r{u'elle reste la même lorsqu'on donne snccessiyement à l element diiïérentes directions dans an même plan, que si celle que la terre exerce sur un conducteur mobile dans un plan fixe est produite par des courants électriques formant des circuits fermés, et dont les distances au conducteur sont assez grandes pour être considérées comme constanfcs pendant qu'il se meut dans ce plan, elle aura toujours la même valeur dans les différentes positions que prendra successivement le conducteur, parce que les actions exercées sur chacun des (éléments dont il est cotnposé restant toujours les mêmes et toujours perpendic ulaires à ces éléments, leur résultante ne pourra varier ni dans sa grandeur ni dans sa direction relativement au conducteur. Cette direction changera d'ailleurs dans le plan fixe en y suivant le mouvement de ce conducteur: c'est en effet ce qu'on observe à i égard d un conducteur qui est mobile dans un plan horizontal, et qu'on dirige successivement dans divers azimuths.

On peut vérifier ce rMultat par l'expérience suivante : dans un disque de bois ABGD (fig. lo), on creuse une rigole circulaire KLMNdans laquelle on place deux vases en cuivre KL', M N de même forme, et qui occupent chacun presque ladani-drconférencé de la rigole de manière cefiendant qu'il reste entre eux deux intervalles KN, LM, qu'on remplit d'un mastie.isolant; à chacun de ces vases sont soudées les deux lames de cuivre PQ,RS, incrustées dans le

4(> THÉORIE DR8 PHÉNO.Mi \F,S

flisquc (!t qui portent les coupes X, Y, destinées à mettre, au moyen <U\ mercure qu'elles contiennent, les vases K f.,MX, en comniuTii( .'Uinn avec les rliéophores d une très-forte pile; dans le disque est inrnistee une autre lame TO portant la coupe Z . où l'on met aussi un jk-u de mercure ; cette lame T O • est soudée .lu eenlie () du disque à une tige verticale sur larpielle est soud<'e une quatrième eoupo IJ, dont le fond est garni d'un morceau de verre nu d'agate pour rendre plus niohile le sautoir dont iious allons parler, mais (lont les bords sont assez élevés pour être en communication avec le mer- . cure rpion met dans cette coupe; elle reçoit la pointe V ( fig. 1 1 ) qui sert de pivot au sautoir F G H 1 , dont les branches E G, E I sont ë^les entre elles et sondées en G et I aux lame&gxh, iyf [j[ui plongent dans Veau addnléedesTasesK L, M-N, lorsque Is pointe V repose sur le fond de la conpe U, et qui sont attachées par leurs antres exti^mités A, / aux branches BH,EF, sans commiiniqner avec elles. Ces deux lames sont ^tes et semblables et pliées en arcs de cerde d'environ Lorsqu'on plonge les rhéophores, l'un dans ift coupe Z, l'aiître dans Tune des deux' coupes X ou Y , le courant ne passe que par une des branches du sautoir, et l'on voit celot-d tourner sur la pointe V par faction de la terre, de l'est à l'ouest par le nmli quand le courant va de la drconférence au centre, et dans le sens contraire quand il va du centre à la circonférence, conformément à l'explication que j'ai donnée de ce phénomène, et qu'on peut voir dans mon Recueil d'Observations électro-dynamiques, page a84^ Mais lorsqu'on les plonge dans les coupes X et Y , le courant parcourant en sens contraires les deux branches E G, E I , le sautoir reste immobile dans quelque situation qu'on l'ait

iLBGTAO-DYlTAMIQU^S. fy]

placé 1 quand ^ par exemple, une des branches est parallèle et Taatre perpendiculaire au moridieii magnétique ^ et cela Ion même qu'en frappant légërameat sur le disque ABCD, ou augmente , par les petites secousses qui en résultent, la mofaUité de rinstrument. En pliant un peu les branches du sautoir autour du point B , on peut leur ftire fiiire dilTérents angles f «t le résultat de l'expérienoe est toujours le même. Il s'ensuit évidemment que la force avec laquelle la terre agit sur une portion de conducteur, perpendiculairementàsa direc> tion, pour la mouv<itr dans un plan horizontal , et, par conséquent, dans un plan donné de position' à l'égard du système * des courants terrestres , est la même, quelle que soit la direc* tion, dans ce plan, de la portion de conducteur, ce qui est précisément le résultat de calcul qu'il s'agissait de vérifier.

Il est bon de remarquer que l'action des courants de l'eau acidulée sur leurs prolongements dans les lames gh.if jut trouble en aucune manière l'équilibre de l'appareil ; car il est aisé de voir que l'action dont il est ici questiou tend à faire tourner la lame gh autour de la pointe V dans le sens hxg, et la lame dans le sens fyi» d'où résulte, à cause de l'égalité de ces lames, deux moments de rotations égaux et de si^'ties contraires qui se détruisent.

On sait que c'est à M. Savary qu'est due l'expérience par laquelle on constate cette action; cette expérience peut se faire plus commodément eu remplaçant la spirale en iil de cuivre de l'appareil dont il s'est d'abord servi, par une lame circulaire du même métal. Cette lame ABC (fig. 12) loruie un arc de cercle presque égal à une circonférence entière; mais ses extrémités A et C sont séparées l'une de l'autre par un morceau D cl une substance isolaute. On met uue de

48 TM^OBIB DES PBliirOBlàlfBtf

ses eitrëmità A, par exemple « eu communication avec un des rh^phores par la pointe O c^*on place dans la coupe S (%. i3} pleine de mercore; celle- ci est jointe par le fil métallique STR à la coupe R dans laquelle plonge on des rliéophores. Cette pointe O (fig. la) communique avec l'extrémité A par le fil de cttiirre AEQ dont le prolongement QF soutient en F la lame ABC par un anneau de substance isolante, qui - entoure en ce point le fil de cuivre. Lorsque , la pointe O repose sur le fond de la coupe S (fi^. i3), la lame ABC (fig. ia) plougedans l'eau acidulée contenue dans le vase de cuivre MN (fig. i3) qui communique avec la coupe P aa se rend l'autre rfaéophore; on voit alors tourner cette lame dans le sens CBA, et pourvu que la pile soit assez forte, le mouvement reste toujours dans ce sens lorsqu'on renverse lies communications avec la pile , en changeant réciproquement les deux rliéopbores de la coupe P à la coupe ce qui prouve que ce mouvement n'est point du à l'action de la terre et ne peut venir que de celle que les courants de l'eau acidulée exercent sur le courant de la lame circulaire ABC (fig, 12}, dction qui est toujours répulsive , parce que si G H représente un des courants de IVnii acidulée qui se prolonge en HK dans la lame ABC, quel que soit le sens de ce courant, il parcourra évidemment l'un des cotés de l'angle GHK en «'approchant, et l uutrc < u t. éloignant du sommet H. Mais il faut, pour que le mouvement qu'on observe dans ce cas ait lieu , que la répulsion entre deux éléments, I un en I et l'autre en L, ait lieu suivant la droite IL, oblique à l'arc ABC , et non suivant lu perpendiculaire LT à l'élément situe en L, car la direction de cette perpendiculaire rencontrant la verticale menée par le point O autour de laquelle la partie mobile de l'appareil est assujettie à tourner , une force di-

EI.ECTRO-DYITAMIQUBS. 49

rigëe suivant cette perpendiculaire ne pourrait lui imprimer aucun mouvement de rotation.

Je viens de dire que, quand on veut s assurer que le mouvement de cet appareil ucst pas produit par laction de la terre, en constatant qu'il continue d'avoir lieu dans le même sens quand on renverse les communications avec la pile en changeant les rhéopbores de coupes, il fallait employer une pile qui fàt assez forte ; il est impossible. en effet, dans cette Idisposîtion de cooductenr mobile, d'èmpécher la terre d'agir sur le fil vertical ÂE pour le porter à l'ouest, quand le courant y est ascendant, à l'est quand le coun^nt y est descendant , et sur le fil horizontal £ Q , pour le faire tourner autour de la verticale passant par le point O , dans le sens direct est, sud , ouest, quand le courant va de E en Q, en s*approçhanl du centre de.rotatioo, et dans le sens rétrograde ouest, sud, est, quand il va de Q en £ , en s*âoignant du même centre ( i ). La première de ces actions est peu sensible, lors du moins quton ne donne au fil vertical AE que la longueur nécessaire pour la stabilité du conducteur mobile sur sa pointe O; mais la seconde. est de'terminée par les dimensions de Tappareil; et comme elle change de sens lorsqu'on renverse les communications avec la pile , elle s'ajoute dans un ordre de communication avec l'action exercée par les courants de leau acidulée, et s'en retranche dans l'autre; c'est pourquoi le mouvement observé est toujours plus rapide dans un cas que dans l'autre; cette différence est d'autant plus marquée.

(i) Voyez sur om deux soms d'acdotti eicroées par le globe tenestre, oe ^ e»t dit dans mon recueil d'(HMenratioiM âecbo- dynamiques, fiages a8o , 284.

■5o THiâORrS DES PRl^TrOMENES

que le courant produit par la pile est plus faible, parce qu'à mesure que son intensité diminue, Taction ëlectro-dynamicjue étant, toutes choses égales d'ailleurs, comme le produit des intensités des deux portions do courants qui agissent l'une sur l'autre , cette action entre les courants de l'eau acidulée et ceux de la lame ABC, diminue comme le carré de leur intensité, tandis que l'iatensité des courants terrestres restant la même, lear action, sur ceux de la lame, ne devient moindre que propoitionneHement k la même intensité : à niesare que réBergi« de la pila diniftue, Taetion du globe devient de plus plus pr^'de détruire edledes conrant» de Teaa acidulée dans la disposition des oonmnnicatioBS avec la pile où ces actions sont opposées, et Ton voit , lorsque cette énergie est devenue très-feible , Tappareil s^anréter dans ce cas, et le mouvement se produire ensuite en sens contraire; alors rexpérience conduirait k tme conséquènoe opposées celle qu*il s'agissait d'établir, puisque l'action de la terre devenant pfépondénuite, on pourrait méconnaître Texistenoe de celle des courants de Teau acidulée. An reste, la première de ces deux actions est toujours nulle sur la lame circulaire ABC, 'parce que la terre agissant comme un système de courants fermés, la force qu'elle exerce sur chaque élément étant perpendiculaire à la direction de cet élément , passe par la verticale menée par le point O, et ne peut, par conséquent, tendre à iaire tourner autour d'elle le conducteur mobile.

Nous allons, pour servir d'exemple, appliquer les tormuk's précédentes au cas oii le système se réduit à un seul courant circulaire fériuc.

Lorsque le système n'est composé que d'un seul courant,

parcourant une circoidiereuce de cercle d un rayon (juelconque w, on simplifie le calcul, en prenant, pour le plan des .ry, le plan mené par l'origine des coordonnées, c'està-dire par le milieu A de l'eléraent ah S\^. i4 % parallèlement à celui du cercle; et pour le plan des jtz, celui qui est mené perpendiculairement au plan du cercle par la même origine et par le centre O.

Soient p et q les coordonnées de ce centre (); su[)posons que le point C soit la projection de O sur le plan de a j, N celle d'un point quelconque M du cercle, et nommons » l'angle  CN ; si Tondisse N P perpendîcolairement sur ÂX, les trois coordoonéesar^j-, 2 dupfMat Jf«eiontMN,NP,ÂP, et l'on trotiTera fkcileinent pour leo» valeurs :

Les quantités que nous HTons désignées par A,B,C, étant respectivement égales à

nous aurons

^ f COS. udu

Si l'on intègre par partie ceux de ces temesqui contiesn^nt sia. u et cos. tt, en disant attention que

5a THÉORIE DES PRENOM k.N ES

donne

^*Qn supprime les terme» qui sont nuls parce que ces intégrales doivent être prises étapm i*=o jusqu'à Msssâ*, et qu'on mettejl^ valeurs de AfB, G ainsi trouvées dans celle de U,