CM.H
Faisant donc simultanément osciller les conducteurs mobiles dans les deux parties s\ m(*tii(|iics de l'appareil, en supposant les angles des secteurs dilït-rents, on aura dos courants de même intensité, et on observera si les nombres d oscillations faites dans un même temps, sont proportionnels aux deux expressions
COS.H COS. ïl' '
en appelant an et an' les angles au centre des deux secteurs.
Nous allons maintenant examiner l'action mutuelle de deux conducteurs recti lignes ; et rappelons -nous d'abord qu'en nommant p l'angle compris entre la direction de l'élément d j' et celle de la droite r, la valeur de l'action que les deux éléments de courants électriques dj et dx' exercent l'un sur l'autre a déjà été mise sous la forme
u'd/r'd(r*cos.p),
en la multipliant et la divisant par cos. ^, et en faisant atten-
tion que k=. — i donne ss nous verrons qu'on peut
66 THl£OKIB DBS PHÏlTOHàlfBS
récrire ainsi :
ii'di' , „. / i „N 1 fi'd*' ./COS.* A eos. ^ ^ » coi. p \ . r y
d'où il nous sera facile de'conclure que la composante de cette action suivant la tangente à l élément ds \ est égale à
et que la composante normale an méroe,ëléroent, Test à
i,-.-d/uiig.M(2^).
expression qui peut se mettre sous la forme
Ces valeurs des deux composantes se trouvent à la p.ige 33 1 de mon Recueil d'Observations électro-dynamiques, publié en 1822.
Appliquons la dcniièrii au cas de deux courants rectiligne» parallèles, situés à une distance a l'un de l'autre. On a alors
et la composante normale devient
Soit M ' (fig. a I ) un P<)int quelconque du:oonvant qui parcourt la droite L. L. ; et p', f les angles L' M' L., L" M' L, form^ avec
L,L, parles rayons vecteurs extrêmes M'L', M L"; on aura l'action de ds' sur L'L' eii intégrant l'expression précédente entre les limites ^ ' , ^ , ce qui donne
^ ii'às' (sin.' p"cos. p'-»- co«. p"— md,* p'cos. p'— co». p') ;
niais on a à chaque limite, en' y représentant les Taleuis de« par^^'etd^,
eo sabstttnant ces valeurs et intégrant de nouTéau entre les limites ^ , p , ' et on a pour la valeur de la force cher-
chée,
i n (sin, sin.^"— sin. sin.
/ ««. p." sin. p." ^ «in. j.' "T iîHXV '
ou
Si les deux conducteurs sont de même longueur et i>erpendicolaires aux droites cpii enjoignent les deux extrémités d'un même côté , on a
r.'=r/'=«, et r.' = r;=c,
en nommant c la diagonale du rectangle formé par ces deux droites et les deux direction^ des courants, l'ej^pression précédente devient alors
\m cj '
68 THÉORIE DES l'IlÉNO MÈNES
en nommant / la longueur des conducteurs, et quand ce
rectangle devient un carr^, on a ^poar la valeur de la
force; enfin, si Ton suppose Tan des conducteurs indéfini dans les deux sens, et que / soit la longue de Fautre, les * termes oii r^'tr jjr,''^rj' se trouvent au dénominateur disparaîtront; on aura
et Texpression de la force deviendra
qui se réduit à ii' quand la longueur / est égale à la distance a.
Quant à l'action de deux courants parallèlement à la direction de j', elle peut s'obtenir quelle que soit la forme du courant s. En eft'et la composante suivant à d^' étant
i.Td,'d(2tli),
Faction totale qu'exerce df'dans cette direction sur le courant L'L* (figeai ) a pour valeur
et il est remarquable qu'elle ne dépend que de la situation des extrémités L',L"du conducteur j; elle est donc la même, quelle que soit la forme de ce conducteur, qui peut être plié suivant une ligne quelconque.
Si l'on nomme a' et a" les perpoidiculaires abaissées des
^LBCTRO-Df NAMIQDE8. 69
deux extrémités de la portion de conducteur L' L"que l'on* considère comme mobile , sur le conducteur rectilignc dont il s'agit de calculer Taction parallèlement à sa direction , on aura
, l àr" a"H" àr' a'à%'
et par conséquent
di' d ài^ d^'
cToik il est iîm de conclure que l'intégrale cherchée est
. I . ., // COS. • d ^" CM.* s'dp^ N
a y \ sin. p" ~~' ain.^' /
Il faudra prendre cette intégrale entre les limites déterminées par les deux extrémités du conducteur rectilignc ; en nommant et p. ", p." les valeurs de et de relatives à
ces limites , on a sur-le-champ celle de la force exercée par le conducteur rectilignc , et cette dernière valeur ne dépwd évidemment que des quatre angles
Lorsqu'on veut la valeur de cette force pour le cas o& le conducteur rectilignes'étend indéfiniment dans les deux sens, il faut faire p/=p,"=o, et p/=p,"=w: il semble, au premier coup d'oeil , qu'elle devient nulle, ce qui serait contraire à l'expérience; mais on voit aisément que la partie de l'intégrale où entrent les cosiniis de ces quatre angles est la
70 THÉoAiK oBS PuiwomkitmB-
seule qui s'ëvanouiase dan» ce cas, et que k veste de nntégrale
a tuig.|0,'cot.ih' devient, à eaiise qu'on a Pt^^sv — ^" et p.'ssir — p/,
Cette valeur montre que la force cherchée ne dépend alors que du rapport des deux perpendiculaires a' eta\ abaissées sur le conducteur rectiligne indéfini des deux extrémités de la portion de conducteur sur lequel il agit; qu'elle est encore indépendante de la forme de cette portion, et ne devient nulle, comme cela doit être, que quand les deux perpendieulaires sont égales entre elles.
Pour avoir la distance de cette force au conducteur rectiligne, dont la direction est parallèle à la sienne, il fiiut multiplier chacune des forces élémentaires dont elle se compose par sa distance au conducteur, et inte'grer le résultat par rap-' port aux mêmes limites; on aiura ainsi le mofnent qu'il finudra diviser par la force pour avoir la distance cherchée.
On trouve aisément, d'après les valeurs ci-dessus, que le moment élémentaire a pour valeur
Cette valeur ne peut s'intégrer que quatid on y a substitué à l'une des variables r ou ^ sa valeur en fonction de l'autre, tirée des équations qui déterminent la forme de la portioa
^LECTBO-DYNAMIQUES.
mobile de conducteur; elle devient très-simple quand cette portion se trouve sur une droite élevée par un point quelconque du conducteur rectiligne que l'on considère comme Hxe, |>erpendicu lai rement à sa direction,parce qu en prenant ce poiut pour l'origine des ^ , on a
et que .s' estone'ConstaBte relativement à la différentieUe
La valeur du moment élémentaire devient donc
- il' à s' d (cos.^ &) = — - il à s sin. ' a cos. 6 d ô ,
dont Tint^ale entre les limites ^ et ^ est
— i » »'di' (8in,*p"~- sin.'^').
En remplaçant As' par les valeurs de cette différentielle trouvées plus liant , et en intégrant de nouveau, on a, entre les limites déterminées du conducteur rectiligne ,
j II' [a" (cos. p."— COS. p.") — à (cos. p; — cos. ^,')].
Si Ton suppose qne le conducteur s'étende indéfiniment dans les deux sens, il faudra donner à p/,^/',^.',^^^, les valeurs que nous leur avons déjà assignées dans ce cas, et on aura
— li (« — a )
pour la valeur du «oment cherché^ qui sera , par consé-
lO.
y2 TH^OBIB DBS PH^IfOMfclfES
qiiont, |)rojK)rtioiincl à la longueur a" — a ilu conducteur niohile , et nu changera point tant que cette longueur restera la même, quelles que soient d'ailleurs les distances des extrémités de ce dernier conducteur à celui qui est consi* dërë comme fixe.
Calculons maintenant Tactiou exercée par un arc de couii)e quelconque NM pour &ire tourner un arc de cercle L,L, autour de son centre.
Soit M' (fig. 33) le milieu d'un élément quelconque âs' de l'arc L,L,,et a le rayon du cercle. Le moment d'un élément d« de NM pour fkire tourner As' autour du centre O s'obtient eu multipliant la composante tangente en M' par sa distance a ^u point fixe ; ce qui donne
I • •/ 1 / j coa." fi
-ai* d^ d 2'
Nommant p',^' et/'',r" les valeurs de ^ et /• relatives aux limites M et N) on a pour le momeut do rotation de d^'
résultat qui ne dépend que de la situation des extrémités M et N.
Mous achèverons le calcul en supposant que la ligne MN soit uu diamètre LX" du même cercle.
Nommons aO l'angle i\rOL';M'T' étant la tangente en M', les angles L'M'T',L''M"r seront respeétivemeot ^' et a", et Ton aura évidemment
COS. — COS. 0 , COS. ^"=sin.9,/= aasin.O,r''=a0cos.9. L'action .du diamètre L'L" pour faire tourner l'élément situé
en M' sera donc
" 'tj ,/sm.'(J COS.' ON
LorB4p.'on prend on point quelconque A de la ctroonférenoe pour origine des arcs, et qu'on fiiit AL'=C , on a
s'=iC + iàa$ et ds'ssaaâi, ce qui change l'expression précédente en
qu'il &ut inl^rer dans toute Tëtendue de l'arc L,L, pour ayoir le moment de rotation de cet arc autour de son centre, pr on a
-^^^ = Itang. - ô + COS.Ô 4- C' :
si donc on appelle et aO, les angles I/OL. et L'OL, le moment total de l'arc-L.L, sera
-Il {\ 4 — -r- — sm. 6,— COS. ô, + siu. û, + COS. ô,
Cette expression, changée de signe, donne la valeur du moment de rotation du diamètre L'L'^dù à Faction de Tare L,ïé,, Dans un appareil que j'ai* décrit précédemment, un conducteur qui a la forme d'un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur composé d'un diamètre et d'ime demi-drconférence qui est mobile autour d'un axe passant par le
74 THEORIE DBS PHÉNOMÈNES
centre de cette demi-circonférence et perpendiculaire à son plan. L*actk>n qa'elle éprouve de U part du secteur est détruite par la rénstance de Taxe, puHqne le oontoîir que forme le secteur est fermé; il ne reste donc que l'action sur le diamètre. Nous avons déjà calculé celle de Tare, il ne nous reste donc plus qu*À obtenir celles des rayons de ce secteur sur le même diamètre.
Pour les déterminer, nous allons chercher le moment de rotation qui résulte de l'action mutuelle de deux courants rectilignes situés dans le même plan, et qui tend à les faire tourner en sens contraire autour du point de rencontre de leurs directions.
La composante normale à l'élément d^' situé en M' (6g.94)i .est, comme nous l'avons vu précédemment,
Le moment do cL pour faire tourner d^' autour de O, s obtiendra en multipliant cette force par s ^ on aura donc, en iiommnnt M le moment total,
•d'oil, en intégrant par rapport à
Mais^ d'après la manière dont les angles ont été pris dans le calcul de la formulequi représente l'action mutuelle de deux éléments de conducteurs voltaïques, l'angle M M' L — ^ est extérieur au triangle O M M'; et,, en nommant c l'angle MO M' compris entre les directions des deux courants, on trouve que le troisième angle OMM' est égal à ^ — i, ce qui donne
ÏLBCTaO-DTlTAHIQUBS. 76
/<io. »
on a donc
^ d*' = ^ ii' [ co». psin. ^ sin. (p — *) +co8. (p — «) + C].
En remplaçant dans cettç. Taleor coft. (p — «) par CO8.' pcos. (p — e) -f- sin.* pcos. (p — e) , on Toit aisément qu'elle se réduit à
d*'=^ [cos.ecos. fi + sin.' pcos.(p — 0 Q
qu'il frnt prendre entre les limites ^' et ; on a ainsi la dif» fôrence de deux fonctions de même forme, Tune de fT^ l'autre de qu'il s'agit d'intégrer de nouTeau pour avoir le moment de rotation cherché : il suffit de fiiire cette seconde int^;ration sur une seule de ces deux <|iuintités : soit donc a* la distance OL" qui répond à ^% on a , dans le triangle OWL\
35ÎS^=« cos..-<^ttn.,cotp",dy=-g5T/-;
et la quantité que nous nous proposons d'abord d'intégrer, devient
dont l'intégrale prise entre les limites 'p/' et 0," est
' « • 'ri ' et. Il \ • y- « \ COS. ■ COS. i 1
En désignant par et p/, les perpendiculjures abaissées
76 THtfORIS DBS VBivOUkvtA
du point O sur les distances L"Lh=r,'',L"L,=r/', on a évidemment
et l'int^rale préoÀiente devient
-ii'ip, —p, — (r, —r. )cot.«J.
Si Ton fiut attention qu'en désignant la distance OL' par a\ on a aussi, dans le triangle OM'L',
on voit aisément que l'intégrale de l'autre quantité se forme ^ de celle que nous venons d'obtenir, en y changeant p!\p!\ rj\r,'\ ta p.\p,\r,\r,'\ ce qui donne pour la valeur du moment de rotaùoa qui est la différence des deu:i intégrales,
lii'[p:'—p:'—p:-^p:-ir:'—r;~r:^r:)cQt.,^^
Cette valeur se réduit à celle qne nous avons trouvée plus haut , dans le cas ou l'angle • est droit, parce qu'alors cot. c=o.
Quant on suppose que les deux courants partent du point * O, et que leurs longueurs OL",OL, (fig. 94) sont représentées respectivement par a et la perpendiculaire OP par p, et la distance L'^L.par r,on a p^''sssp,p"=p^'=p*=o^ r,''=r,r,''=sa, r,'=è, r/=o, et
j ££' [p+{a-h b — r) cot •] , pour la valeur que prend alors le moment de rotation.
La quantité a ^- b — r, excès de In somme de deux côt^s d'un triangle sur le troisième, est toujours positive : d'où il suit que le moment de rotation est plus grand que la valeur
^-ii'p qu'il prend quand l'angle a des deux conducteurs est
droit, tant que oot. e est positif, c'est-à-dire tant que cet angle est aigu; mais il devient plus petit quand le même angle est obtus, parce qu'alors cot.| est négatill II est évident d'ailleurs que sa .valenr est d'autant plus grande que l'angle • est plus petit , et qu'elle croît k l'infini comme cot. « à mesure que ■ s'approche de xéro; mais il est bon de montrer qu'il reste toujours positif , quelque voisin que cet angle soit de deux droits.
Il suffit pour cela de faire attention quen nommante 1 angle du triangle OL"L, compris entre les côtés a et et p celui qui Test entre les côtés' ^ et on a
cot. «= — cot. («+ p),/7sasin. «=^8in. p,rs=<ioos.s4«^cos.f ,
et par conséquent
a H- h-^r^a (i — oos. «) -Vb (. i — ces. p ) ,
=/?tang.^a+/?tang.^p,
et
valeur qui reste toujours positive , quelque petits que soient les angles « et.p, puisque tang. (■ + p), pour des angles in-
fifrieufs à j , est toujours plus grand que tang. x + tang. et à plus forte raison plus qde tang.-«4- tang. - ^. Cette valeur
^8 THÉORIE DES PHJ^ROMENES
tend ^fidemment vers la limite ^û"/? à mesure que les angles « et ^ s'approchent de sëro; die s*ëvanoiut avec p quand ces angles deviennent nnls.
Reprenons maintenant la valeur générale du moment de rotation en n'y faisant entrer que les distances OU'sâ^, O L'=a', et les différents angles, valeur qni est
\ W [«"sin.O." -»)— <»"sin.(p."— 0— a'sin.(^;— e)
et appliquons*la an cas on un des conducteurs L'L" (fig. aS) est rectiligne et mobile autour de son milieu L, , et où l'autre part de ce milieu. En disant VV=Aa , on a
a"=aya'= — a,p,' = iî + t,p,"=«,sin.p,'= — sin.^.
et en désignant comme précédemment les perpendiculaires abaissées de L. sur L' L. L" L., l'expression du moment devient
Or
sin.p,'': A::sin.t:r.'' et — sin.(t.':a::sin.«:r,',
et les valeurs de r/' et de r.' tirées de ces proportions et sub* stituées dans l'expression précédente la changent étt
l [p:^p:'^ coti.(r.'-r.")].
Lorsqu'on suppose L.T-, inluii, on a ^,"=^,'=asin.e, r,'-^ /•."= 2 rt COS. e, et cette valeur du moment se réduits
-ail { asm.tH — r— —)=-; — ;
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SLVCTaO-DXHAMIQaSS. 79
il est doDC en raûpn inTevse du siniu de l'angle des deux courants, et proportiainnel i la longueur du courant fini. Quand L,L, = ^VL"=a et qu'on représente l'angle
L'L.L, par on a /^/'=«sin.9,^,'=<T!cos.6,r/=:2rtsin.ft, r,"s=:aacos.6,cot.e= — cotaO, et le moment devient
^ aii'[coB, • 4-8in.9 -i- acot. 9e(co8.6 — sin.6)], en Templaçant acot aO par sa valeur
tBDg.O •in.Scos.V sin.9ci9s.9
ou trouve que celle de ce moment est égale à
-an (cos.e+sin.O) [i + 4;^-o -
= î a»'(co8.« 4.sin.6) 1)-
Pour avoir la somme des actions des deux rayons entre lesquels est compris un secteur infiniment petit dont l'arc est de, il faut faire attention que ces deux rayons étant parcourus en sens contraire , cette somme est égale à la differentielle de l'expression précédente; on trouve ainsi quelle est représentée par
-«m' (cos.*— 8in,*)( ^-fl — 5— I )— ^ -r—ii — -^Ida
a '\9in.8coâ.fl y sin. ocos.*0 j
« ••// •« • I (cos.8-Hsin.0)*\ t.
a ^ ' V.siD.(cos.t sin.*8cos.*9 /
2 aW (ces, 0 — *iu,e) ( . ,J — rk + • + 0 d 6.
Mais l'action de l'arc L,Lj sur le diamètre l/L" est égale et
