Soit
Le système des g.
un élément de TEnsemble £, qui ne soit pas un diviseur de zéro : formons ses puissances successives, et, au moyen des formules (8) (n'^S), ramenons chacune d'elles à la forme linéaire par rapport aux unités principales; désignons ensuite, pour abréger, par des lettres ^ affectées d'indices convenables, les coordonnées des diverses puissances g-*, g^, • • •> g^- Nous aurons ainsi
s — su ^1 ■+" su ^î + • • • "*" SI» ^/i> g* = Çji ^1 4- Su ^j -h ... 4- Çî„ ^rt, >
Les coordonnées ^/y sont évidemment des quantités réelles, fonctions de celles d'entre elles dont le premier indice est i et aussi des quantités irpq qui entrent dans les formules (8).
30. Nous supposerons que l'Ensemble «t remplisse la nouvelle condition, que le déterminant
su su • • • S!«
Sil SJl • • • s
in
S/il S«î • • • SrtJ
ne soit pas nul pour tout système de valeurs des coordonnées $,,, ^12» •••» ^i/i- Cette hypothèse peut être faite; car autrement il devrait y avoir impossibilité de trouver des systèmes de nombres i^pg^ tels que le
déterminant S ne fut pas identiquement nul; mais l'emploi d'un sys- B. 4
tfeme particulier de nombres t^p^ montre précisément le contraire. En effet, prenons le système déjà utilisé au n° 10 pour démontrer la possibilité de satisfaire aux équations (9) et (i i). Dans ce système, tous les
trpg sont nuls, sauf
et Ton a
avec
£111 — ^%tt — • • • — S/j/iii — I,
CpCg^o S] p^q
Dans le cas présent on trouve donc
et, par conséquent, en écrivant simplement ^,, $2» ^n» ?i2» •••» Ç<ii» ^n a
SI s» • • • hn
. . , ^rt au lieu de
Sn
rn tu tn Si Si ' • • Sn
déterminant certainement différent de zéro, quelles que soient les coordonnées $4, $2, ..., ^n de g", pourvu cependant que deux quelconques d'entre elles ne soient pas égales.
Ayant ainsi reconnu, par un exemple, que le déterminant (26) n'est pas identiquement nul, on voit que la nouvelle condition imposée n'exclut que certains systèmes de nombres e^^.
Je ne m'occuperai désormais que des seuls Ensembles & pour lesquels cette condition est vérifiée.
31. Actuellement les équations (25) pouvant se résoudre par rap port aux unités principales ei , ^2, . . . , fi;,, donnent
ei = aug + «12^*
(Xnlg
Les a,y sont des quantités réelles.
32. Formons encore g^'^* de la même manière que nous avons formé g^, g*, .*. ., g'^, puis remplaçons dans son expression les unités e,, ^2 » ...» ^,1 par leurs valeurs tirées des équations ( 27 ), nous obtiendrons une relation qu'on pourra écrire
(£i, £2, .... In sont des quantités réelles) ou bien encore (en tenant compte de la remarque du n** 26)
De l'équation (28'), on déduit également, quel que soit l'entier positif (JL,
(28'') ^J^-^'»-h£ié'l^-*-'*-*H-£,^H--^"-*-h...-|-£„^t*=:0.
