Soit

un élément de l'Ensemble £ , qui ne soit pas un diviseur de zéro; si l'on remplace, dans les équations (18), p^, ^^, ..., p^ respectivement par

a,, ao, . . ., a„, celles-ci fourniront un système unique de valeurs tinies et déterminées pour les coordonnées Y», Y2» •• •» Y« d'une certaine quantité complexe e^.

Cette quantité complexe sera donc, par définition même, telle que

eo — a

Propriétés de e^,

24. Première propriété. — Un élément quelconque de V Ensemble & reste invariable quand on le multiplie par e^ .

Soit

c =z beo z=z b -i a

je dis que c^= b.

Pour obtenir les coordonnées de c, il faut, en effet, effectuer le produit ba et l'identifier avec le produites.

Soient:

1° 6 = o. Alors il faut forcément c = o, donc 6 = c;

2^ ft^o. Alors, puisque a^^ô, les équations (i8) déterminent un système unique de coordonnées Ym Ya' •••» Y/» finies et déterminées; par conséquent, si l'on connaît un système de coordonnées vérifiant ces équations, on est sûr qu'il n'y en a pas d'autres; or le système

satisfait évidemment, car il transforme en identité l'égalité

ca^= ba \

on a donc

25. Deuxième propriété. — Quelle que soit la quantité complexe [non diviseur de zéro toutefois), qui sert de point de départ, on arrivein toujours à la même quantité e^ .

Autrement dit, soient

«T^O et a'^Q^

deux éléments quelconques de l'Ensemble £ et

on aura

D'après la première propriété, toute quantité complexe, multipliée soit par e^, soit par e^^ reste invariable; on a donc, en particulier,

rteo=:flr, ae^^ma^

c'est-à-dire (n°* 14 et 15) que les coordonnées de e^ satisfont aux mêmes équations que les coordonnées de e^ et que, par suite, elles sont identiquement les mêmes, puisque le système d'équations dont elles dépendent admet un seul système de solutions à cause de

Donc

Cq ^0»

26, Remarque importante, — La formule OU, ce qui revient au même (car on peut intervertir l'ordre des facteurs),

( iî3 ) aeo = ^0 a = a

montre que, dans le calcul des quantités complexes^ la quantité e^ se conduit absolument comme le nombre i dans le calcul ordinaire ,

En fait, il pourra, dans certains cas, arriver que ^o soit égal à i, et alors il n'y a pas à se préoccuper davantage de e^. Supposons qu'un tel cas ne se présente pas, une remarque essentielle doit être faite : en vertu de la première propriété de e©, on a la formule (28)

a étant un élément de l'Ensemble &. Cette formule est établie exclusivement pour ces éléments, de sorte que, si les nombres réels ne font pas partie de l'Ensemble & et que i soit un tel nombre, il n'a nullement été prouvé que l'on eût

et même, au contraire, cette dernière égalité ne peut subsister, puisque,

d'une part, ke^ est un élément de l'Ensemble «f , et que, de l'autre, k ne

Test pas.

D'après cette remarque, aussi nécessaire pour éviter les erreurs qu'elle est simple en elle-même, on peut écrire en particulier

parce que c^ appartient à l'Ensemble <t aussi bien que a. Mais, au contraire, on ne pourra simplifier l'écriture de

27. Calculée e^. — Les coordonnées de e^ seront, comme on Ta déjà dit (n° 23), déterminées par les équations (i8), lorsqu'on y aura fait

Mais comme, en vertu de la deuxième propriété de e^ [iV 25), cette quantité reste la même, quel que soit a (non diviseur de zéro toutefois), on écrira que les équations (i8) sont vérifiées, quels que soient

ce qui conduit aux n^ équations suivantes :

yiCiii

+ yî€i2i

'-^ynhnl

yifiuî

yiÊlln

• "T" yn^inn

yi^iM

-^yt^iii

•-H7rtÊ2«l

yiÊîi2

yn^lnn

7/i6/i;ij

Les seconds membres de ces équations sont toujours o ou i; c'est i qu'il faut prendre toutes les fois qu'au premier membre figure un nombre irpq ayant ses trois indices égaux, et c'est o dans tous les autres cas. Bien que le nombre de ces équations surpasse de beaucoup celui des inconnues, elles sont certainement compatibles et admettent un autre système de solutions que y, = yj = . . . = y^^ = o ; ainsi l'exigent l'existence et les propriétés de la quantité e^ démontrées d'ailleurs.

28. Cas ûfe 71 = 2. — Les w* = 4 équations sont, en prenant les notations déjà employées au Chapitre I,

yif^'-Hyjv' = i;

elles peuvent se combiner deux à deux de six manières. En accouplant la seconde avec la troisième, on voit que l'on doit avoir

ce qui a lieu [n** H, formules (i6)].

Les cinq autres combinaisons donnent

'^' ~ hj — ix*~l'v'^ ix'^ ~ Xv' — |ul|jl' — lyi' — |ul>/ "" p/ — v/jl' '

— |x V l — ix' __ -V IX

Je ne m'arrêterai pas à vérifier [ce qui est facile, au moyen des formules (i6), n** 11] que ces équations sont compatibles; je me contenterai d'observer que, dans le cas plus spécial où les deux unités principales sont

I et \/— I, I

on a car

X = |Ul'=I, V=r — I, ^z=X'=v'=:0.

On voit que, dans ce cas,

^0 = y 1 ^1 -H yj «2 = yi + yj v^^ = i ,

résultat auquel on devait s'attendre.