INTRODUCTION

Le présent travail a pour but d'exposer la théorie de certaines quantités complexes, d'après lés idées émises par M. Weierstrass et publiées dans les Mémoires de la Société de Gôttingue, en novembre i88/| (*).

Dans l'état actuel de la Science, les seules quantités sur lesquelles on opère habituellement en Mathématiques sont les quantités réel/es, les quantités complexes, dites imaginaires, et aussi, depuis quelque temps, les quantités complexes d'Hamilton ou quatemions.

Considérant, par exemple, les quantités imaginaires, on sait qu'elles s'expriment toutes au moyen des deux seules unités

j et V — ' >

prises d'ailleurs positivement ou négativement. Si l'on examine ces deux unités au point de vue purement algébrique, on voit qu'elles jouent dans les calculs le rôle de véritables clefs, c'est-à-dire que toute

( > ) Zur Théorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Crôssen { Nachrichten von der K, G, d. It^, zu Gôttinge/i, S. SgS; 1884).

égalité entre quantités imaginaires équivaut, en réalité, à deux relations entre quantités réelles. L'attention attirée sur ce fait, l'esprit se demande naturellement si l'on ne pourrait pas établir une Algèbre fondée sur la considération de n unités principales ou symboles abstraits^ qui, eux aussi, feraient dans les calculs l'office de clefs.

L'origine des recherches de M. Weierstrass fut, comme il le dit luimême [loc. cit.^ p. 395), l'opinion émise par Gauss dans son Arithmétique supérieure (*), qu'il était impossible d'accorder les règles du calcul de quantités de cette nature avec les règles du calcul ordinaire. M. Weierstrass montre, au contraire, que la chose est possible d'une certaine manière, au moins, et semble penser que ce serait pour n'avoir pas connu l'existence de ce que lui-même nomme les diçiseurs de zéro, que Gauss aurait été amené à émettre son opinion. Toutefois, ce ne peut être là qu'une conjecture, car le passage cité ne permet pas dr trancher la question, et, d'autre part, le contexte ne fournit aucune indication à ce sujet.

Quelque temps après la publication du Mémoire dont il s'agit, un autre éminent géomètre, M. Dedekind, reprenant la même question (^), fit voir que le nouveau calcul ne différait pas au fond du calcul de certains systèmes de quantités, que lui-même appelle corps finis ('); ce qui ramène ce calcul à des opérations déjà usuelles dans l'Algèbre supérieure. Il est naturel que les recherches de M. Dedekind trouvent aussi leur place dans les pages que j'écris.

J'ai divisé ce travail en trois Parties :

L^i première Partie contient l'exposé des principes fondamentaux du calcul des quantités complexes, d'après le Mémoire de M. Weierstrass. Arides et abstraits, mais indispensables, les commencements de cette

( ») GaiLKs fferke^ Band II, S. 178 (édition de Grollingue, 1876).

(' ) Zur Théorie der aus n HauptelnhcUen gebildeten compJexen Grossen voa Dedekind { Nachrichten von der K. G. der /f^. zu Gôtiûigen, S. i^i ; i885).

(») Sur les Corps finis, on peut consulter le Mémoire do M. Dedekind, paru en plusieurs fois dans lo JiuUetiudes Sciences mathématiques de M. Darboux (années 1876, 1877). Les recherches qu*on y trouvera se rapportent ù un sujet tout ditrérent de celui que nous traitons, mais offrent cependant certains rapprochements qui ont guidé M. Dedekind. On peut consulter aussi les Notes do M. Dedekind, publiées ù la suite de la deuxième édition des rorlcsiuigen iiber Zahlcnthcoric von P. G. Lejouno-Dirichlel, § iSq. p. 4'^3-

théorie conduisent finalement à des calculs très simples. La plupart des idées qui composent cette première Partie sont tirées du Mémoire mentionné, mais un certain nombre de détails nous appartiennent. Si l'on observe que l'écrit de M. Weierstrass est d'une concision extrême, on s'expliquera pourquoi je me suis surtout attaché à présenter la théorie d'une manière aussi méthodique et aussi claire que possible, en élucidant les détails et démontrant certaines propositions simplement affirmées par M. Weierstrass, sans craindre même de retrouver quelques résultats de plusieurs manières; j'ai cru, par là, faire mieux ressortir la pensée profonde de l'auteur que je commente. En outre, j'ai souvent insisté sur le cas de n = 2, à cause de sa liaison intime avec le calcul ordinaire des quantités imaginaires.

La deuxième Partie m'est presque entièrement personnelle; trois points seulement sont extraits du Mémoire de Gôttingue; ils seront indiqués en leur temps. Les principes fondamentaux du calcul ayant été établis dans la première Partie, j'étudie dans la seconde quelques-uns des points les plus importants, non plus du calcul élémentaire, mais de l'algèbre des quantités et variables complexes. Un coup d'œil jeté sur la Table des matières sutïira pour se rendre compte de la nature des questions qui y sont traitées.

La troisième Partie contient l'exposé du Travail de M. Dedekind; elle est formée de deux Chapitres. Le premier renferme l'idée fondamentale de l'auteur. Le second est consacré a l'étude de certaines équations de condition. Cette étude repose en grande partie sur des calculs assez difficiles, que M. Dedekind a résumés dans son Mémoire : j'ai cru rendre un vrai service à ceux qui voudraient étudier cette question, en rétablissant la plupart des intermédiaires; on trouvera ces calculs groupés dans le § II de ce Chapitre ( * ).

Il m'a semblé que je devais séparer l'exposition des Mémoires de M. Weierstrass et de M. Dedekind, parce que, bien qu'ils concordent dans le fond, ces deux Mémoires procèdent par des voies absolument différentes, qu'il parait utile de faire connaître à cause de leur intérêt

(*) Afin de faciliter la lecture de ces calculs, j'ai reproduit, dans un Tableau séparé, les formules relatives à ce paragraphe.

propre; enfin, m'étant proposé d'expliquer les résultats acquis au sujet des quantités complexes, je devais exposer les deux Mémoires qui sont les seuls (*) parus sur ce sujet.

On me pardonnera, je Tespère, d'avoir introduit dans les deux premières Parties de ce Travail une terminologie presque complète et même d'avoir créé le signe ô pour désigner un diviseur de zéro : cela m'a paru absolument nécessaire pour éviter d'interminables longueurs.