PREMIERS PRINCIPES DU CALCUL DES QUANTITÉS COMPLEXES

Définitions. — Les unités principales.

1. Toutes les quantités complexes que nous considérerons formeront ce que nous appellerons V Ensemble «f . Une quelconque d'entre

elles sera un élément de l'Ensemble «f .

2. Le but que nous avons en vue étant d'établir un calcul des quantités complexes qui soit en harmonie avec le calcul des quantités ordinairement employées, certaines conditions sont à remplir, quelles que soient d'ailleurs l'origine et la définition de l'Ensemble <f .

( * ) Dans le deuxième Volume de ses Vorlesungen ùher allgemeine Arithnietiky M Stolz doit aussi traiter des quantités complexes à n unités principales. Annoncé en librairie postérieurement au dépôt de notre manuscrit à la Faculté dos Sciences, le Livre de M. Stolz est encore sous presse, au moment même (décembre i885) où nous faisons imprimer cette thèse.

I** 11 faudra que, si a, b,c, ... sont des éléments de l'Ensemble «1\ leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient deux à deux, c'est-k-dire

a-\-b, a — b, ah, -rj

soient aussi des éléments du même Ensemble.

2** Il faudra que les théorèmes dits commutatif, associatif ^i distrihiuif ^\ent lieu par rapport à ces éléments, tant pour l'addition que pour la multiplication; en d'autres termes, on doit avoir, en général,

Ia -^ b^=ib-h a^ (a -h ô) -H c = (a -h c) 4- 6, {a — b)-h b = a;

/ ab=^ bttj

(2) {ab)c—{ac)b,

On Y ajoutera l'égalité

qui sert de définition au quotient des deux éléments^ et 6« absolument comme la troisième des égalités (i) sert de définition à leur différence. Ainsi nous excluons d'avance tout système de quantités complexes dont la définition ne permettrait pas de satisfaire k ces diverses conditions.

3. L'Ensemble & des quantités complexes, que nous considérons ici, sera celui dans lequel elles ont la forme

^1» $2» •••» ^/ï sont des nombres réek, commensurables ou non, ils portent le nom de coordonnées de la quantité complexe; e?,, e.,, , . . sont n symboles, auxquels nous laisserons leur plus haut degré d'abstraction, sauf k exiger la vérification de certaines conditions et k ne pas leur donner de définitions contradictoires. A cela près, nous restons absolument maîtres de les définir comme nous voulons.

Ces n symboles abstraits seront appelés les unités principales.

4. Une première condition absolument indispensable est que ces n symboles soient linéairement distincts, c'est-à-dire qu'il n'existe enlre eux aucune relation de la forme

A| €i -+- Af €j -+- . . . -+- A/i €fi — O,

dans laquelle X|, ^2* • • •» ^n sont des nombres réels qui ne sont pas fous nuls. Il est manifeste, en effet, que si une telle relation existait, les éléments de l'Ensemble & ne dépendraient pas en réalité do n unités principales, mais d'un moindre nombre.

5. Première conséquence de cette condition. — Lorsqu'un élément de t'Knsemble £ est nul, ses n coordonnées sont nulles séparément. Deuxième conséquence, — Si deux quantités

.-4- a^eny

sont égales, leurs coordonnées de même rang sont égales deux à deux, c'est-à-dire que l'on a

car, si a = 6, la différence a — b doit être nulle, les n coordonnées de cette différence sont donc nulles aussi; or ces coordonnées sont précisément