Premier cas : l^Q. — Alors (n

},,^o, Xj^o, ...» X,.^o.

Les r équations (4o) sont du degré/? exactement.

Première catégorie . — Parmi les Ensembles £,, £3, ..., «f^, il n'y en a aucun qui soit une multiplicité à une seule dimension. Alors, comme chacune des équations (4o) a exactement p racines réelles ou imaginaires et que les racines, tant imaginaires que réelles, sont admissibles pour des multiplicités à deux dimensions, on a

Dans ce cas, le polynôme fondamental /($) du Chapitre III de la r* Partie (n°* 36 et suivants), doit avoir toutes ses racines imaginaires conjuguées; il est donc de degré pair, et l'on a

ainsi

Remarque. — Parmi ces N solutions, il peut y en avoir d'égales {voir plus loin, § IV).

Deuxième catégorie. — Parmi les Ensembles £,, £3, . . ., «f ^, il y en a qui sont des multiplicités à une seule dimension. Soit, par exemple, C^ un tel Ensemble. Parmi les racines de l'équation

«i H- Pi ?i -H yi <î -H . • • -H ^1 $f = O,

dont, au reste, tous les coefficients sont réels, il faudra rejeter toutes les racines imaginaires; dès lors,/i n'est plus qu'un maximum, que

(1) Ce nombre est donné sans démonstration par M. Weierstrass dans son Mémoire, p. 4 10. L'auteur se place du reste dans le cas de / ^z^ &,

peut atteindre ou ne pas atteindre le nombre /i< des racines convenables; et ce nombre dépend complètement de la particularisation des composantsa,, 64, . . ., l^^ des coefficients a,b,,. ., /de l'équation (Sg); il peut même arriver, si p est pair, que //| = o et, par suite aussi, N = o. Dans tous les cas,

est le nombre maximum des racines de l'équation (Sg).

68. Remarque I. — En Algèbre, l'admission des racines imaginaires permet d'énoncer ce théorème général : que toute équation du pi^^^^ de fi^ré a exactement p racines. Si donc on veut poursuivre rigoureusenient l'analogie du nouveau calcul avec l'ancien, on devra rejeter les Ensembles C^ pour lesquels le polynôme fondamental/($) ne répondra pas à la première catégorie; et c'est là une des raisons qui justifient l'hypothèse faite au n** 63, 3**, que tous les Ensembles composants sont à deux dimensions. Cetle hypothèse admise, on a, dans la formule

la généralisation véritable du théorème rappelé ici. En effet, pour /î = 2, on retrouve la formule

69. Remarque IL — Ayant toujours /p^ ô, si en même temps a ^ O, aucune des équations (4o) n'admettra de racines nulles, et l'équation proposée n'aura pas, pour solution, un diviseur de zéro. Les solutions seront donc toutes des quantités co/w/>fe.re5 ordinaires (n" 58).

Si l^Q^ et a = ô. Tune au moins des équations [\o) admettra au moins une racine nulle. Soient

les nombres de racines nulles que possèdent respectivement les équa-

(*) D'après lo procédé même qui a servi à trouver la formule générale, cela devait être évidemment, et par conséquent ce résultat n'a nullement la prétention d'être une démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques, mais c'est une simple véri6cation.

lions (4o) (ces nombres pouvant d'ailleurs être nuls), le nombre des racines de l'équation proposée, qui seront des quantités complexes ORDINAIRES, scra

et, par suite, cette équation admettra comme solutions

diviseurs de zéro ordinaires.

70* Deuxième cas : /= O, — On supposera tout d'abord a^Q, Alors, en admettant comme racines les quantités que j'ai nommées des infinis ordinaires (n** 58) et passant de l'équation (4o) à l'équation

in

par l'application des propositions indiquées (n^ 59) et de la remarque II (n** 69), on trouvera encore

N =/?'•=/>* racines dont

sont des infinis ordinaires.

[ti',, n'j, ..., /i). sont des nombres analogues aux nombres n\^ n\, ..., w,. du numéro précédent, et correspondent aux racines nulles des équations aux inverses des équations (4o)].

/ = O, a = ô, mais l'un au moins des autres coefficients différent dun diviseurdezéro. — Ç^n^OMXV^ continuer d'admettre que chaque équation (4o) a/? racines, dont un certain nombre sont nulles et d'autres infinies (^). On pourra dire alors que l'équation (Sg) admet des solutions des quatre espèces : quantités complexes ordinaires, diviseurs de zéro ordinaires, infinis ordinaires, infinis mixtes (n® 58). Le lecteur comptera facilement le nombre des racines de chacune de ces espèces; le nombre total sera toujours

(0 Celte manière de procéder se justifie de la même façon que dans T Algèbre ordinaire, en considérant les coefficients diviseurs de zéro comme des limites de quantités cornplexes ordinaires variables.

71. Dernier CAS : Tous les coefficients sont des dwiseursdezéro. — Si tous les coefficients étaient nuls rigoureusement, il est clair que l'inconnue œ serait absolument indéterminée. J'exclus cette supposition.

Si, parmi les Ensembles composants, il ne s'en rencontre aucun pour lequel tous les composants des coefticients, qui lui appartiennent, soient simultanément nuls, on obtient les mêmes résultats que dans ie cas examiné immédiatement avant celui-ci.

Si, au contraire, pour l'Ensemble £^, on a

ûf|l =^ O^ izi . . . = /jji^ = o,

Çpt n'est plus déterminé par les équations (4o), puisque l'équation d'indice (JL a tous ses coefficients nuls. Il en résulte que l'on peut donner au composant x^ de l'inconnue ce telle valeur que l'on voudra, les autres composants de x étant d'ailleurs parfaitement déterminés^ s'ils n'appartiennent pas à des Ensembles analogues à C^. En conséquence, l'équation ( 39) est vérifiée^ dans ce cas^ par une infinité de racines.

Ce cas est du reste le seul où l'équation n'a pas exactement N =/?» racines; mais il est très remarquable que l'équation (Sq) puisse avoir une infinité de racines, sans que tous ses coefficients soient nuls.

Un peu d'attention permet d'énoncer ainsi ce théorème :

Pour que l'équation Y[x) =^ o ait une infinité de racines, ilfimt et il suffit que ses coefficients soient tous des multiples d'un même diviseur de

séro{*).

, Pour fixer les idées, on peut supposer que ce sont les Ensembles £,, «!^2, ..., Ci pour lesquels tous les composants des coefficients de l'équation sont nuls, les autres ne rentrant pas dans ce cas.

Maintenant prenons un coefficient quelconque, a par exemple, on a

a\,a\, ..., a'^étantdeséléments des Ensembles respectifs £,, «C2, ..., £,, absolument quelconques.

(*) Ce résullat si intéressant est dû à M. Weierstrass (loc. cit., p. 408). C'est le dernier des trois points que, dans rintroduction, j'ai annoncés comme ne m'appartenant pas.

Opérons de même sur les autres coefficients, nous voyons alors qu'ils contiennent tous en facteur le diviseur de zéro

La condition énoncée dans le théorème est donc nécessaire, et, d'autre part, on voit immédiatement qu'elle est suffisante.

72. Remarque importante. — Bien que l'équation admette alors une infinité de racines, lepolynâme¥{x) n'est pas nul pour tovje valeur de x; car, toutes les racines en nombre illimité, qui vérifient ¥{x) = o, ont certains composants absolument déterminés ; de sorte que les théorèmes suivants restent rigoureusement exacts:

[. Un polynôme ¥{x) ne peut s'annuler pour toute valeur complexe de Xy que si tous ses coefficients sont nuls.

II. Deux polynômes égaux pour toute valeur complexe de x ont les coefficients des mêmes puissances de x égaux entre eux deux à deux.

La décomposition de F(j7) en facteurs linéaires.

73. La division par X — x . — Je suppose ly^ O. Soit une racine de l'équation

Je recherche quel est, sur cette équation, l'effet de la division de F(j?) par x — x'. Effectuer la division par j? — a?' revient à diviser chaque composant de F(.r) par le composant correspondant à^ x — x \ on devra, par exemple, diviser

a^^-^-b^x^-^-. . ,-{- l^x'^ par x^— x'^

ou I

a|i.+ Pji?ii + .-.-f-^H.?g par l^—l')f.\ j

la division sera toujours possible dès que a?' désignera, comme on le

suppose, une racine de l'équation (Sg). On ne sera même pas arrêté quand certains composants de x' seront nuls ; car si, par exemple, cc^ = o, c'est que, dans les équations

on a

a^-=o et a|i=:o;

on peut donc les diviser la première par a:^ et la deuxième par Sj^.

La division effectuée, chacune des équations (4o) aura son degré réduit d'une unité: et les racines de la proposée correspondant aux racines restantes des équations (4o) ne seront plus qu'au nombre de

ainsi l' opération faite a enlevé

nzcines.

Si r= I {n = 2), une seule racine a disparu : le résultat de l'Algèbre ordinaire n'est pas contredit^ mais généralisé.

74 Des systèmes fondamentaux de racines. — Soit

Xf.,

jr!."'

le système complet de tous les composants des valeurs de x qui satisfont à l'équation (3c)). J'appelle système fondamental de racines tout système de p racines ou chaque composant (d'indices '^ quelconques) figure une fois et une seule fois. Un système fondamental épuise donc les pr composants. Pour évaluer le nombre des systèmes fondamentaux distincts^ je suppose d'abord que tous les composants d'une même ligne du tableau (A) ont des valeurs différentes ; alors, puisqu'on peut toujours imaginer qu'on écrive les composants d'une même racine dans l'ordre croissant des r indices inférieurs^ on obtiendra précisément par

• {6a ) les divers arrangements des indices supérieurs rhr

cj =/>(/? — i). . .(^— r-M)

racines distinctes, pouvant servir, si on les groupe/? k p d'une manière quelconque, à former des systèmes fondamentaux tous distincts. Leur nombre est donc dans ce cas exactement

m{uj — l). . .(CT — p -hi)

Si un composant d'une ligne du tableau (A) devient égal à un composant d'une autre ligne, il n'y a pas de réduction dans le nombre des systèmes fondamentaux, parce que les éléments de lignes différentes étant relatifs à des Ensembles différents ne sont pas échangeables entre eux.

Au contraire, si A/, termes de la i*^™* ligne deviennent égaux, le nombre des svstèmes fondamentaux distincts se réduira à