Soit maintenant

**^ — — X I ~T~ ce A "r" ... "T~ OC ^ ,

j,ip) -. ^0.) ^ j.fp) ^__^j^(p}

(63) un système fondamental quelconque de racines^ on a identiquement

car on a successivement

F(^)=:\ («/-H hiXi-^-,, .-h /«.rf)

=^\.h{Xt-^i){b-i'i)-- -(.II- ir )]§"-■

^2,[li{Xi— x't){Xi'- x]). . .{Xi— x[^^)'\ 1 = 1

F(ir) peut donc se mettre sous la forme (40 ^® ^ manières différentes, et cela quelle que soit la quantité complexe x.

76. Corollaire I : Relations entre les coefficients et les racines, — Les relations habituelles auront encore lieu entre les coefficients et les /? racines x\ x'\ . . .jûo'^\ pourvu que celles-ci forment un système fondamental. Cela résulte immédiatement de la décomposition trouvée (n^ 75) et du théorème II (n^ 72).

77. Corollaire II. — Comme une racine quelconque de ¥{x) = o fait toujours partie de l'un au moins des systèmes fondamentaux distincts, la décomposition des polynômes en produit de facteurs linéaires au moyen d'un système fondamental montre tout de suite que si les équations

F(^)=:o et <^(x)z=zO

ont une racine commune x\ elles admettront le diviseur commun Plus généralement, si

sont i racines faisant partie d'un même système fondamental, tant dans Téquation F(a?) = o que dans l'équation ç [x) = o, les deux polynômes ¥{x) et <f{cc) auront le diviseur commun

§iv.

Les racines égales.

78. Nombre des racines égales. — Écrivons Tensemble des pr composants trouvés par la résolution des équations (4o) :

^rV'.

Si l'on suppose différents tous ceux qui ont même indice inférieur, il est évident que les/?'* racines de l'équation (Sg) seront également différentes. Supposons toutes ces racines écrites, et puis imaginons maintenant que T^i des éléments de la dernière ligne deviennent égaux entre eux, les autres éléments de la même ligne ou des autres lignes restant distincts, l'ensemble des racines se partagera en

racines inégales et

groupes de t^, racines : les T;.| racines d'un même groupe étant égales entre elles, mais les groupes différant les uns des autres.

Si T^2 autres éléments de la même ligne deviennent égaux, puis 'Zrz autres, etc., enfin T;.^^, on aura

{P — T,! — Tri — ... — '^rJr)P'"^

racines inégales :

pr-i groupes dislincts de t,.| racines égales entre elles,

/>'■-* » » » Tri '^ >^

/)'•-* » » » TrJr

(65) Si l'on a soin d'admettre les valeurs de t^/ égales à l'unité, on aura

P — Tri — T|.j — ... — ZrJr =^ 0>

ce qui simplifie le calcul; les groupes restent distincts entre eux. Le nombre des racines distinctes est en définitive actuellement

JrP"-'.

Si maintenant nous opérons de la même manière sur les éléments de la r— i""**^ ligne, en tenant compte des changements déjà survenus dans la r*^™«, et si

sont les nombres analogues aux nombres

Trl> T;-2j • • • > "^t'Jr^

avec la condition

les/?'*"* groupes distincts de t^, racines égales vont donner lieu a

pf-i groupes distincts de T,.,Tr-i,i racines égales,

/>'-* » » » T;.iT,.,,2 » »

Un fait semblable aura lieu pour les p"^* groupes de T^a racines égales, etc.

Le nombre des racines distinctes sera alors de

Continuant de la sorte et prenant des notations analogues, on arrivera à montrer que les racines de l'équation se partagent finalement en groupes de

racines égales entre elles, les indices recevant de toutes les façons possibles toutes les valeurs dont ils sont susceptibles. Le nombre des racines distinctes sera alors

Jrjr—l • • 'Jl9

c'est-à-dire le nombre des racines distinctes de r équation (39) est égal au produit des nombres des racines distinctes des équations {^o),

79. Recherche des racines égales. — Considérons le polynôme F'(^) déduit de ¥{x) par Tapplication de la règle de dérivation, comme si les coefficients des diverses puissances de x^ et x aussi, étaient des quantités ordinaires, F'(^) sera encore pour nous la dérivée de F(a7). On a

F'(^) = b-[- 2CJ? -h. . . + />/j;^-*=:y ^(')((3,H- 2y/ç/-h. .,-hph cf-^).

Pour résoudre l'équation T'{x) = o, on devra donc écrire les r équations

et l'on voit de suite que si: F{x) = o a des racines égales, au moins une des équations (4o) aura aussi deux ou plusieurs racines égales, et, par suite, cette dernière aura une ou plusieurs racines communes avec l'équation (42) de même indice qu'elle.

Dans tous les cas, cette remarque permettra de trouver les racines égales de la proposée. Toutefois, et c'est là un fait digne d'attention, l'existence d'une racine multiple x' dans l'équation proposée n'entraîne nullement l'existence de cette même racine x' pour l'équation dérivée, et d'autre part, cependant, on n'a point là une contradiction du théorème ordinaire de l'Algèbre, comme on va le voir.

Reprenons la considération des systèmes fondamentaux de racines (n^ 74). Observons que l'équation proposée peut avoir des racines multiples sans qu'il soit possible de trouver un seul système fondamental contenant deux racines égales entre elles; il suffit, pour que ce cas se présente, que les/? valeurs trouvées pour le composant relatif à l'un des Ensembles partiels soient distinctes, tandis que, pour d'autres Ensembles partiels, certaines sont égales.

On reconnaît en même temps que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un système fondamental ayant deux racines égales est que, pour chaque Ensemble composant £^, £^2* •• •> ^r* ^^ trompe au moins deux valeurs égales des composants de x.

Il en résulte que chacune des équations (42) doit avoir une racine commune avec l'équation (4o) de même indice. Et l'on peut énoncer ce théorème :

Pour qu'il existe un système fondamental de racines de V équation

F{x) = o ayant deux racines égales, il faut et il suffit que r équation Y'[x)-=o ait une racine commune a^ec l'équation F(a?) = o.

Plus généralement, pour qu*il existe un système fondamental de racines de V équation F (a?) = o, ayant exactement p racines égales entre elles ( tout autre système fondamental étant de plus supposé ne pas admettre cette racine plus de p fois) ^ il faut et il suffit qu^ il existe également, pour r équation P'(a?) = o, un système fondamental au moins, ayant p — i racines égales à cette même racine, et qu'il n'en existe pas r admettant plus de p — I fois. Six' est cette racine, Y{x) et F' (a?) admettent alors le diviseur commun f^x — x'Y^^ .

Ces théorèmes ne contredisent pas ceux de l'Algèbre ordinaire, puisque alors il n'y a jamais qu'un seul système fondamental.

De la racine /)'^'"* d'une quantité complexe. 80. Soit

Nous supposons que tous les Ensembles composants sont des multiplicités à deux dimensions, afin de pouvoir admettre des coefficients imaginaires ( n*^ 63, 3**).

11 est clair que

(où T,, ^2, . . ., T^ sont des racines j9^^">«* de l'unité qui, du reste, peuvent ne pas différer) est une quantité qui, élevée à la puissance p, reproduit a; car, en appliquant les règles de multiplication que nous connaissons, nous avons

Aussi la quantité ya, définie par l'égalité (a), sera dite une racine

(68) />'^"* de a. On pourra encore, si l'on veut, l'écrire

OU même simplement

en se rappelant alors que chaque radical est susceptible de prendre p valeurs.

On voit qu'il y a /)'*=/>* racines ^»«™«« d'une même quantité complexe a.

81. Remarque, — Avant de quitter les équations algébriques, sur lesquelles il y a sans doute encore beaucoup à dire, notons qu'on peut se proposer la résolution de ce que j'appellerai une équation partielle, c'est-à-dire la recherche des valeurs de ce propres à satisfaire à la relation

On voit tout de suite que cette question a de sa nature une infinité de solutions. Néanmoins, toute valeur de x ne répond pas à la question; car, ¥{x) étant toujours de degré/?, il ne peut y avoir plus de/? valeurs de j? qui rendent nul un composant déterminé de Y{x). La question sera d'autant plus déterminée qu'on exigera plus de composants nuls.

Par exemple, si l'on veut que le troisième composant de ¥{x) ainsi que le quatrième soient nuls, ce que l'on pourra écrire

il n'y aura que p^ systèmes de valeurs x^ et x^ vérifiant cette équation partielle.