On a vu que, si

était un système fondamental quelconque de racines de l'équation

F(^) = o, on avait identiquement

en supposant /^^O (ce que nous continuerons à faire). Considérons maintenant la fraction

où f[pc) est un polynôme entier de degré quelconque p' <C p ( * y Désignons par

et

les composants respectifs des deux polynômes ; on a toujours

en posant

(») On peut toujours supposer que Fou est dans ce cas; car, si le degré de/(.r) était supérieur ou égal à celui de F(x), une simple division ordinaire (n* 6i) ramènerait à ce cas, comme dans le calcul algébrique ordinaire.

cette égalité devient

D'après l'hypothèse / ^ ô et en admettant qu'aucune des équations

n'a de racines multiples, chacune des fractions rationnelles entrant dans h second membre de l'égalité précédente est décomposable exactement en p fractions simples; on a» par exemple,

et cela d'une seule manière.

Ayant effectué la même opération pour chaque fraction, supposant que le système fondamental (ce qui est permis) soit

et posant encore

on aura

F(x) ~~ a: — jc' '^ x — a;" ^'"'^ x — x^p>'

Cette décomposition en fractions simples peut se faire évidemment d'autant de façons qu'il y a de systèmes fondamentaux de racines, pourvu toujours que F(ir) = o n'ait aucune racine multiple.

En particulier,

83. Supposons actuellement que $,($/) admette une certaine racine, par exemple, ^), au degré [x de multiplicité, on aura

(7' ) Bien qu'au deuxième membre figure en réalité le composant de rang i

^'ig''' . ^'ig''' . . ^rg'^

de la quantité

(ûCi J7;)H' (j?,- J7',.)l*-* " JCi — X

"^ z TTT. — r -H ... H > y

on voit qu'il ne sera pas possible, en général, de décomposer ^y^ en

fractions simples, comme s'il s'agissait de polynômes composés avec des quantités réelles ou imaginaires. On voit néanmoins que cela sera encore possible, toutes les fois que chaque équation

contiendra le même nombre de racines distinctes que chacune des autres, et que, de plus, les degrés de multiplicité seront les mêmes, de sorte, par exemple, que si $^($,)= o admet une racine triple, deux racines doubles et les autres simples, $2 = o, $3 = o, . . . devront admettre chacune : une racine triple, deux racines doubles et les autres simples. Pour arriver au résultat désiré, on choisira le système fondamental i\Q^ racines, de manière que tous les composants d'une même racine de ce système correspondent à des racines de même degré de multiplicité des diverses équations $^ = 0.