PRÉFACE
Dans rOuvrage que j'ai l'honneur de présenter au public, je me propose de faire connaître une Théorie peu étudiée et sur laquelle il n'existe point encore d'ouvrage spécial; la Théorie des Imaginaires, donnée pour la première fois d'une manière parfaitement rigoureuse par Cauchy, n'est qu'ébauchée dans la plupart des ouvrages d'Algèbre élémentaire, et l'on rencontre encore des Professeurs distingués qui, n'osent point accorder aux démonstrations basées sur les imaginaires une entière confiance. « L'expérience, disent-ils, a prouvé que les imaginaires conduisaient toujours à des résultats reconnus exacts à posteriori; nous pouvons donc nous en servir dans nos recherches, sauf à vérifier ensuite les formules auxquelles nous arriverons. » J'ai essayé, d'après les travaux de Cauchy, de montrer que le symbole V— i avait un sens parfaitement net, non pas comme quantité, mais comme signe de séparation entre deux quantités réelles; j'espère qu'un lecteur attentif se laissera persuader par les arguments que je donne au commencement de ce petit Traité.
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Vï PRÉFACE.
Toute la Théorie des Résidus étant basée sur TeTTiploi judicieux des symboles imaginaires, il était indispensable que ceux qui voudront me faire l'honneur d'examiner mon travail s'entendissent parfaitement avec moi sur le sens que l'on doit attribuer aux formules imaginaires. On me pardonnera donc d'avoir insisté un peu longuement sur une Théorie élémentaire, avant d'aborder le sujet que je m'étais proposé de traiter. Le Calcul des Résidus créé par l'illustre Cauchy n'a point été tout d'abord envisagé par lui au même point de vue que celui sous lequel nous le présentons dans cet Ouvrage.
Pour lui, au début de cette nouvelle branche de la science, le résidu d'une fonction de œ, relatif à l'infini a de cette fonction, était le premier coefficient que Ton rencontre dans le développement de cette fonction suivant les puissances décroissantes de œ — a.
Le Traité de Lagrange sur les Fonctions analytiques, le Calcul des Dérivations d'Arbogast, etc., ont été suffisamment critiqués pour qu'il soit inutile de dire tout ce que cette définition avait de vicieux; plus tard, Cauchy lui-même modifia ses premières Théories et fut assez heureux pour donner à l'instrument qu'il avait trouvé toute la perfection désirable, en considérant le résidu comme une espèce d'intégrale définie.
Cette nouvelle définition présentait sur la première de grands avantages :
i'' La rigueur. A ce propos on pourrait objecter que la possibilité du développement, lorsque le ré-
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sidu existe, peut être démontrée à priori; mais la démonstration de cette possibilité repose elle-même sur le calcul des résidus que Ton serait obligé de déguiser, dans son exposition.
^^ La simplicité. En effet, la définition que nous avons adoptée, conforme aux dernières idées de Cauchy, conduit à des démonstrations plus naturelles, plus faciles à retenir; enfin elle met sur la voie de nouvelles découvertes, comme nous le verrons par la suite.
Nous n'avons pu résister au désir de donner les principales applications du Calcul des Résidus à la Théorie des Suites, pour laquelle il semble avoir été créé tout exprès, à en juger par l'extrême facilité avec laquelle on résout les problèmes si délicats que l'on rencontre dans cette belle Théorie, en sorte que cet Ouvrage peut être considéré comme renfermant une Théorie assez étendue des Suites infinies.
J'aurais voulu exposer les applications du Calcul des Résidus à l'intégration des équations différentielles et rendre ainsi un juste hommage à l'homme illustre qui a enrichi l'Analyse d'une branche de la science qui peut rivaliser d'intérêt avec le Calcul différentiel et le Calcul intégral. Mais la Théorie des Équations différentielles n'est point encore assez avancée, jîioi-même je ne suis point encore assez versé dans cette partie ardue de la science, pour entreprendre un semblable travail. Quoi qu'il en soit, j'espère qu€ le public me saura gré des efforts que j'aurai faits pour réunir en un tout les lambeaux d'une belle Théorie, que l'on rencontre disséminés
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ça et là dans les remarquables travaux de Cauchy et de MM. Puiseux, Briot, Bouquet, etc.
J'ose espérer également qu'on voudra bien me pardonner mes nombreuses imperfections et les fautes qui auront pu m'échapper dans les parties où je me serai permis de hasarder mes propres opinions.
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