INTRODUCTION

1. Cardan est le premier qui remarqua les quantités imaginaires; dans les discussions qu'il eut à soutenir contre Tartaglia au sujet de l'équation du troisième degré, il montra que cette équation avait trois racines. Souvent, dit-il, ces racines sont des quantités imaginaires, qui traitées comme les quantités ordinaires n'en satisfont pas moins à l'équation. Mais il ne va pas plus loin : il regarde les solutions négatives ou imaginaires des problèmes comme totalement dénuées de sens et d'utilité, il leur donne le nom de solutions feintes.

Lorsque Viète eut créé les signes algébriques et donné, à l'aide de ces signes, les solutions de tant de problèmes regardés comme insolubles avant lui, le géomètre hollandais Girard, continuant les travaux de Viète, imagina de représenter des longueurs de droites comptées dans des sens différents, par les valeurs absolues de ces lignes précédées des signes -h ou — *, les quantités négatives entrèrent désormais comme données dans les questions d'ana- Ivse.

Hosted by

Deilà^au calcul des imaginaires il n'y avait qu'un pas. Cardan ,«feora me nous Pavons dit, avait remarqué les quantités imaginaires. : il restait «Ti les Tintroduire comme données, à .■généraliser l'idée de Girard. C'est Euler qui fit faire ce pas à la science.

Il s'occupait de la quadrature de l'hyperbole équilatère. L'ordonnée de cette courbe a pour expression

y z= sjx^

a étant -le demi-axe, tandis que l'ordonnée du cercle de rayon a est représentée par la formule

ces deux expressions ne différant que par le signe de la quantité sous le radical. Euler n'hésita pas alors, pour obtenir l'expression d'un segment d'hyperbole^ à remplacer dans l'expression du segment de cercle le carré j^ par — j^^ et y par j* \l — i . D'autre part, il calcula directement l'aire du segment hyperbolique, puis égalant les deux résultats auxquels i! était arrivé, il trouva une relation entre les fonctions logarithmiques et circulaires. Les contemporains d'Euler se mirent à l'œuvre et perfectionnèrent sa découverte. D'Alembert ramena à la

forme a -H (3 V^ — i toutes les expressions algébriques imaginaires et démontra que toute équation algébrique avait une racine de cette forme.

Jusque-là il y avait encore, comme dans la théorie des séries (quoi qu'en dise M. Prouhet dans ses Nouvelles annales pour l'année i86'3), un manque de rigueur dans la théorie des imaginaires 5 l'emploi du signe \/ ^ — i n'était pas bien légitimé.

-En 1786, Henri-Dominique Truel interpréta géométriquement les quantités imaginaires. En 1806, M. Ar~

Hosted by

( 3 ) gand eut la même idée sans avoîr connaissance des travaux de Truel. M. Mourey, dans son ouvrage intitulé Théorie des quantités négatives et des quaiitités prétendues imaginaires^ dédié aux amis de l'évidence, fait disparaître le signe s/ — i pour lui substituer des considérations tout à fait géométriques. Son ouvrage est irréprochable au point de vue de la rigueur, il a fait faire un grand pas, mais on peut être rigoureux tout en conservant le symbole s/ — I. C'est ce que fît voir Cauchy en 1821 dans son Analyse algébrique^ et c'est ce que nous allons nous efforcer de faire comprendre.

Calcul des imaginaires,

2. Supposons que c et r désignent, non plus des quantités, mais de simples signes de séparation, de telle sorte que

soit une manière d'écrire

Supposons en d'autres termes que o- et t jouent dans la formule (1) le rôle d'une virgule ou d'un trait indiquant que -{- è ne doit pas être ajouté à +- a, etc. Il est bien clair que si l'on a

a(T-hbT-+-cz=a'(T-]~b\-hc,

on aura encore

{a -\- ai)(T -h [b -\~ b^)T -{- {c -h c/)

Hosted by

(4) En effet, celte dernière formule exprime que

« -H fl, zrr «/ -h d ^^

équations qui doivent avoir lieu, car les formules (2) expriment que

Plus généralement, toute formule analogue à la formule (1)5 dans laquelle les quantités précédant a dans les deux membres seront formées de la même manière en a, &, c, «1, Z?i , Cl et en a\ b\ c', a\^ b\^ c\ respectivement, et dans laquelle les quantités précédant et suivant z jouiront de la même propriété, sera exacte en vertu des relations (3). ,

Par exemple, si l'on effectue les mêmes calculs que si l'on voulait multiplier membre à membre les formules ( 2 ) , en considérant u et t comme de véritables quantités algébriques, en attribuant à g^ la valeur — a, à r^ la valeur — I et à OT la valeur 4'^? î'^ ^sl bien évident que la formule à laquelle nous parviendrons ainsi sera exacte.

Ce que nous venons de dire des deux signes o- et r pourrait se répéter avec un plus grand nombre de signes analogues, ou même avec un seul. Le plus souvent on ne considère qu'un seul signe de séparation : ce signe se représente par \e symbole y — i (^)^ qu'il ne faut pas considérer comme étant la racine de — ï, mais comme étant un simple signe de séparation. Les égalités, symbo-

C) Voir Cauchy, Exercices d'Analyse et de Physique jnathématicjuesy Mémoire sur les clefs, et l'ouvrage d'Hamilton intitulé: Lectures on tjuater-' nions.

Hosted by

(5 ) liques que nous aurons à étudier seront donc de la forme

Nous appellerons quantité imaginaire ou expression imaginaire l'un quelconque des deux membres de celte égalité, et coefficient de v' — i la quantité qui dans une expression imaginaire suit le symbole \/ — i^ enfin nous pourrons sans inconvénient écrire le coefficient de y — ■ i avant ou après ce symbole, ou même écrire le terme affecté du symbole y^ — i le premier ou le second, de sorte que

\l ~\b -\- a^o! -^h' sf^^x

équivaudra toujours à la double égalité

en nous dispensant d'expliciter le signe de h toutes les fois que ce signe sera le signe -|- .

On appelle somme (ou différence) de plusieurs quantités imaginaires, le résultat que Ton obtient en ajoutant

(ou en retranchant) ces quantités, le symbole y — i étant traité dans cette opération comme une lettre, et en réduisant les termes semblables par rapport à y — i. D'après cela on voit que :

Théorème I. — ^i des quantités imaginaires sont égales deux à deux, la somme ou la différence des unes est égale à la somme ou à la différence des autres.

En effet, soit

! -f- b \J — l:=zc -h dsj — 1 5

la somme de a + èy^-— i et de a'+èV'— i,-

sera

Hosted by

(a + a'+. . .)■+-(&-+- b' . . .) y/— i; celle de c-^dsj—i, c' -^ d'sl~^,, . . sera (c + c\ . .) + [d ^ d' . . .jv^—i. Or les égalités (i) sont des manières abrégées d'écrire

a 2=: c^ a' = c-y..., b r=z df b' z=z d' , . . . On a donc

a H- a' H- . . . = c H- c\ . . et b ^ b\ . .=z d -\- d' . . . , c'est-à-dire, en n'employant qu'une seule équation,

a ■^- a' . . ,-¥{b + b' , , ,)sj —i =zc-[-c\ .. + (^-h^'...)v/'^=T.

Même démonstration dans le cas où l'on aurait à faire une différence.

On appelle produit de plusieurs imaginaires,

a-\-bsJ—t, a' -{-b' sj — i^' * ' 'i

le résultat que l'on obtient en considérant \! — i comme une lettre dont les puissances i, 2, S,.- seraient respectivement v/— I, — ^i, — \l- — I? -h 1, V— Ï5 — I5 •••? <^» faisant le produit à la manière ordinaire dans cette Hypothèse, et en réduisant les termes semblables par rapport à \l — i.

Théorème II. — Lorsque des imaginaires a-\^hsl — i , a' -\-V \l — I V • • > ^^'^^ respectivement égales à d'autres c -^ ds/ —i^ c^ -h d^ s/' — 1 5 . . , , le produit des premières est égal au produit des autres.

En effet, ces deux produits ne peuvent différer l'un de l'autre que parce que les lettres a^ b^ a! ^U , , , ^j sont remplacées par c, d^ c\ d' ^, » , -, mais comme, par définition, a et c^ h et r/, a! et c'^ , . . désignent des quantités égales, il

(7) est clair que dans les deux produits les coefficients

de V — I et les termes indépendants de ce signe sont respectivement égaux, ce qui revient à dire que les deux produits sont égaux.

Nous appellerons puissance /z'^"'^ de (a-f- bsj — i) et nous désignerons par {a -f- bsj — x)" le produit de n facteurs égaux à a-i- bsJ ~ i ,

Théorème III. — Si deux imaginaires sont égales^ leurs puissances ^z'^'»^' le sont aussi.

Nous appellerons quotient de deux imaginaires une troisième imaginaire telle, que multipliée par la seconde ou diviseur elle reproduise la première ou dividende.

Il est facile de prouver que ce quotient existe en général, mais qu'il n'en existe qu'un seul. Soit, en effet, à diviser a -{- bs/ — i par c -{- d*^ — i ; soit x -i-j \ — r le quotient, s'il existe : on devra avoir

ix -h y s/ — i) {c -{- d s/ — i) := a -\~ bs/ — i

ex — df ~\- [dx -+- cf)sj — 1=1 a -\- bs/ — î , c'est-à-dire, en vertu de nos conventions,

de là on tire

ex — df =z a, dx -h cf z=: b;

-\r bd cb — ad

Si donc c^ H- d^ n'est pas nul, c'est-à-dire si c et d ne sont pas nuls à la fois, le quotient existera et sera unique 5 sa valeur est

/ ac -\^ bd -{- (cb — ad) s/ — i

.X -{- ysf —î~ ^ ; ^— .

Hosted by

(8) Théorème IV. — Si deux imaginaires A et B sont égales respectivement à deux autres C et D, les quotients K\^ et C\ï) seront égaux.

Théorème V. — Un quotient ou fraction ne changeras quand on multiplie le dividende et le diviseur par une même imaginaire.

En effet, soit x + j \l — i le quotient de a + Z? V' — i par c -{- d V — i ; on aura

[x H- j \l — I ) [c H- d si —i ) =z a -\- b \/—ï:,

clone, en vertu du théorème II,

[x -\-fsJ — I ) [c -h d y/ — 1 ) [m -h- n \/ — i ) :r=:{a-\-b\J — i){m-]-ns,/ — i)-

Cette égalité montre que par définition x-+-jsj — i est encore le quotient de (a -h è s/ — i)[m-\- n sj — i ) par (c -h d sj — I ) [m H- n sj — i ).

Corollaire. — On peut diviser le dividende et le diviseur par une même imaginaire sans changer le quotient.

Le lecteur vérifiera facilement' que les règles de la multiplication et de la division des polynômes ordonnés s'appliquent encore lorsque ces polynômes sont des quantités imaginaires, et que les théorèmes sur la divisibilité par X — a sont encore vrais quand xeia sont imaginaires.

Des équations entre quantités imaginaires.

3. Nous pouvons considérer une quantité réelle comme une quantité imaginaire dans laquelle le coefficient de y/ — X serait nul. Je m'explique : soient a et b deux quantités réelles et égales (nous employons ici le mot réel^

Hosted by

( 9 ) parce qu'il est consacré par l'usage pour désigner une quantité non imaginaire) 5 l'égalité

peut s'écrire

a -^- o \j — i=:b -\- osj — i,

car cette dernière égalilé revient à

Nous pourrons donc combiner par voie d'addition, de multiplication, de division, les égalités entre quantités réelles et entre quantités imaginaires, pourvu que Ton considère les premières comme contenant dans leurs deux membres le terme oV — 15 mais dans toutes les opérations que nous avons considérées jusqu'ici, le symbole V — Jt a été traité comme une lettre dont les puissances étaient v^ — i, — i, ... ; par suite, l'addition ou la suppression du terme osj — i dans une imaginaire ne modifie pas le résultat final d'une opération : il résulte de là que l'on pourra toujours se dispenser de l'écrire.

Si donc, à la suite d'un calcul, on tombe sur un résultat tel que

on pourra écrire

et dire qu'une quantité imaginaire nulle est celle dans laquelle le coefficient de V — ^ et l'autre terme sont nuls séparément^ enfin on pourra se dispenser d'écrire le terme indépendant de V — i quand il est nul, ce qui ne change pas non plus le résultat final d'une opération. Tout ceci revient à dire que l'on peut remplacer dans les calculs o V^— 1 par o.

Hosted by

( lo )

Enfin, comme conclusion, on pourra toujours considérer les quantités réelles comme des quantités imaginaires dans lesquelles les coefficients de y — i seraient nuls.

Ceci posé, lorsqu'une équation entre quantités réelles n'aura pas de racines réelles, il pourra se faire qu'en remplaçant les inconnues par des expressions imaginaires, l'égalité ainsi obtenue soit satisfaite en vertu de nos conventions : alors on dira que les expressions imaginaires en question sont racines de cette équation.

Plus généralement, quelle que soit l'égalité que l'on considère entre quantités réelles ou imaginaires, s'il existe des quantités à déterminer, de telle sorte que cette égalité ait lieu effectivement, cette égalité portera le nom d'équation et les quantités à déterminer en seront les racines.

On reconnaîtra sans peine que sans changer les racines d'une équation, on peut ajouter aux deux membres, ou multiplier ces deux membres par une même quantité ne contenant pas l'inconnue, sans altérer les racines^ que dans un système d'équations on peut remplacer Tune d'elles par la somme ou la différence effectuée membre h membre de deux quelconques d'entre elles -, enfin, que les formules qui servent à résoudre un système d'équations du premier degré, dans le cas où les coefficients sont réels, sont encore vraies dans le cas où ces coefficients sont imaginaires.

Des équations du second degré.