Lemme I. -- Supposons la série

Convergente pour toutes les valeurs de x comprises dans l'aire (A)^ et les fondions (pi^ ©2^ • • •;» synectiques à Vintérieur de la même aire, Si^ en décrivant dans cette aire un petit cercle de rayon fixe^ si petit que Von voudra du reste; autour du point x comme centre^ les modules maximum |;.i^ fjLg, . . . , c?e Çi, cf2? • • • à V intérieur de ce cercle forment une série convergente^ la série (i) représentera une fonction synectique à V intérieur de Faire (A).

En effet, soit f(x) la valeur de la série (i), A un accroissement infiniment petit donné à x^ on aura

h étant bien entendu supposé assez voisin de zéro pour que le point x 4- /z soit intérieur k Taire (A). Uéquation précédente peut s'écrire ainsi qu'il suit, en observant que les fonctions cfi, cfg, . . .sont synectiques.

ou bien

Avec un rayon suffisamment petit et du point x comme centre, décrivons un cercle, prenons h assez voisin de zéro pour que x -\- h soit contenu dans ce cercle ; nous pourrons dans l'équation (2) remplacer le signe X par une

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intégrale prise le long de ce cercle^ et l'on aitray en appelant r son rayon,

,3)/,,.-.»,-/,„i = f „2 f "'ti:^^'*

Soit actuellement 5 la plus courte distance du point x -i-^k à la circonférence le long de laquelle on intègre, fx le rno^ dule maximum de f{z). Sur cette circonférence nqu^s aurons

L'équation (3) donne alors

mod/[/(\r H- 7i) — /(.r)] < mod. -^ ^ p

(car, en vertu de notre hypothèse, ^fx est une série convergente). Or, 2/>^ est fixe, d ne peut que croître quand h

tend vers ztéro, donc Je module de f[x-h h) — f{^) ^ pour limite zéro. Donc enfin/* (x) est une fonction continue de X. c. Q. F. D.

En second lieu, il est bien clair que la fonction f{x) ne peut avoir qu'une seule valeur pour utie même valeur de j:^ donc elle est monodrome, et, en vertu de la convergence de la série (i) finie, il reste à faire voir qu'elle est monogène.

A cet effet, divisons les deux membres de Téquation (2) par h et développons le second membre*, il vient

-%Lj^.^^l

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( io3 ) Mais la série dont le terme firénéral est X ,, ^ est con--

vergente 5 en effet, on a

d'où l'on voit que

mod.f -^^^^ -<-i- f^tM ou <^.

Or, la série dont le terme général est — est convergente \ cette série étant à termes positifs, la série dont le terme général est ^ ■ ^ [ ^^ Test aussi -, enfin, répétant le même raisonnement sur la série dont le terme général est

on verrait que les modules de ses termes sont moindres respectivement que ^5 —.^ • • • ? ^ j • • • ? que par conséquent cette série est convergente, et que le module de sa valeur est moindre que

Or, quand h tend vers zéro, cette quantité ne croit pas indéfiniment, puisque le seul facteur variable â tend vers r. On peut donc écrire

X étant une quantité dont le module reste inférieur à une quantité finie quand h tend vers zéro. L'équation (4) peut

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( io4 )

alors se mettre sous la forme

h ZàL^ [[z — œ])

c'est-à-dire, en faisant converger /z vers zéro,

Cette équation ayant lieu de quelque manière que h tende vers zéro, on en conclut que/(x) est une fonction monogène et par suite synectique dans Taire (A).

71. Lemme II. — Supposons que x variant à V intérieur du contour [A.) , la série

soit convergente et que les différents termes soient des fonctions synectiques, la série

<^i(.x)sm^i'nr{t — i) ^jf-^ ) sin^^Tr (^ — 2)

sera convergente pour toutes les valeurs de t ,• de plus, les modules maximum de ses différents termes^ quand x et t varieront à l'intérieur de cercles suffisamment petits^ sera elle-même convergente.

En effet, la série

est convergente pour toutes les valeurs de t différentes de 1 , 2, 3, . . . , w, . . . . Pour le prouver, supposons le module de t compris entre n et tz -f-i? et traçons un petit cercle à l'intérieur duquel / reste compris, mais ne contenant p^s l'un des points i, 2, 3,. . ., 7?,. . , . Soitp le

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( .o5 ) module maximum de -r dans ce cercle, p un entier quelconque, on aura en valeur absolue

mod, [t — p)^p — P-

Les modules des termes de la série (3) sont donc respectivement inférieurs aux termes de la série

Or, cette série est convergente comme ayant ses termes respectivement inférieurs à ceux de la série

(n — lY (n — 2)^

que l'on sait être convergente^ donc la série (3) est convergente, et de plus on voit que la série des modules maximum de ses différents termes, lorsque t varie à l'intérieur d'un cercle ne contenant pas les points i, 2, . . . , Tz,..., reste toujours convergente. Cette série est la série (4), du moins au premier terme près ("^ ) .

^ , , 1 . T mod. sin^2.7rf , r • j Cela pose, multiplions par — r^ la série des

modules maximum des termes de la série (3)5 on obtiendra une nouvelle série (S) qui sera convergente; enfin p^, fXg,.^ ., désignant les modules maximum de Çi, Çg,. . .^ <p„, . . . , à l'intérieur de l'aire (A), ces nombres ne croissant pas indéfiniment si on les multiplie respectivement par chacun des termes de la série (S), on obtiendra une nouvelle série convergente. Or, cette nouvelle série a ses termes respectivement plus grands, non-seulement que les

C^) En effet, pour obtenir cette série de modules maximum, il suflit de remplacer t par une quantité positive plus grande d'une unité que

son module, ce qui donne la série (4) plus --'

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( .06 ) modules des termes de la série (2), mais encore que les modules maximum des termes de la même série, quand x et t varient, le premier, dans l'aire (A), le second, dans un cercle ne contenant pas les points 1, 2, 3, . . . , a2, . . . . Donc la série des modules maximum dfes termes de la série (2) est convergente. c'. q. f. d.

Corollaire, — Il résulte de là que la série {2) représente une fonction synectique de t dans toute l'étendue du plan, excepté pour les points 1,2, 3, . . . , «, . . . , et de x à l'intérieur de Faire (A).

Nous allons voir qu'aux points 1, 2, 3,..., n, , . . eux-mêmes, la série (2) représente encore une fonction synectique de t. En effet, considérons la variable t dans le voisinage du point w, et faisons abstraction dans la série (2) du terme contenant y„( x), tout ce qui vient d'être dit pour la série (2) sera applicable à cette nouvelle série dans le voisinage du point n. Elle représentera donc une fonction synectique de t en ce point. Si l'on vient maintenant à lui ajouter le terme

. . sin^2 7r (^ — n)

qui est une fonction synectique de t au point n^ la somme, c'est-à-dire la série (2) elle-même, sera encore une fonction synectique de t. c. Q. F. D.

72. Théop.ème m. -r- Supposons que, x variant d l'intérieur de Vaire (A), ©1 [x], cfg [x], . . . restent synectiques, et la série

(i) /(^) ir=(p,(jr) -+-y2(^)-4-. * '-^^n{x] -{-. . .

convergente : sa somme/ [x) représentera une fonction synectique de X.

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( I07 ) En effet, considérons la série dont le terme général est

Cette série, dont nous désignerons la valeur par tp (jr,f)y représente une fonction synectique de x dans Taire (A) et une fonction synectique de t dans toute l'étendue du plan, qui, pour ;f = i, 2, 3, , . . ,n, . . . , se réduit à (j?i (^}, ^2(^),- . ^^(^n[^)'^* • • • L'équation (i) peut donc s'écrire

OU, ce qui revient au même (51),

le résidu devant être pris à l'intérieur d'un contour indéfini enveloppant l'axe des x positifs, abstraction faite de l'origine.

Ce contour pourra être formé de la manière suivante : deux parallèles à l'axe des x à des distances vîi et ~ yjo de cet axe, et une parallèle à l'axe des jf menée à la distance ^o*de cet axe, g^ désignant un nombre compris entre o et i . La formule [1) pourra alors s'écrire

2 sin7r(Ço-l->7Y~î):

j ,. •^{x ,l~n,\l~i)dl.

3v/~i sin7r(Ç — yjQ^/— i)

^ i\l — I sinTT (g H- -/]i\/ — i)

La première des intégrales qui entrent dans cette formule est évidemment une fonction synectique de x^

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puisque sous le signe | la fonction reste toujours synec-

tique (25) 5 quant aux deux autres intégrales, leurs limites étant infinies, la question est pins difficile à trancher. Considérons-en une en particulier, la dernière, par

exemple; faisons abstraction du facteur — — - ? et rem-

2 sj— 1

plaçons la fonction ^ par sa valeur, cette intégrale devient

dl V / N sin^Qi7r(? .-f-TjoV' — i'

Changeons de variable et posons

l'expression précédente devient

^Y -f zsin^2 7rf --{- •/7oV"ï

/, sin,7:(i+.o\/^) [27r(l + .„.s/-l-/^..)p

Cette intégrale, en vertu du théorème (25), représente une fonction synectique de x\ en effet, la fonction

qui entre S.OUS le signe I était synectique par rapport à .r;

elle ne cesse pas de l'être quand t y est remplacé par

- H- yîv — I, et qu'elle se trouve divisée par z^ \ la seule

chose qu'il y ait à craindre, c'est que pour ^ = o elle ne devienne infinie. Or^ pour zz=z o, elle se réduit à o.

Il resterait encore une intégrale à examiner, mais à Faide des mêmes raisonnements on arriverait^ à son égard, à la même conclusion *, il résulte donc de la formule (3) que la fonction f{x) est la somme de trois fonctions

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( 1^9 ) synectiques de x dans l'aire (A) \f[x) est donc elle-même une fonction syneclique de x, c. q. f, d.

Résumé.

73, De tout ce qui précède résulte le tliéorème suivant, que j'ai démontré, pour la première fois, dans une thèse présentée à la Faculté des Sciences de Nancy :

Si, X variant à V intérieur d'un contour (A), les fonctions ?i {^)^ ^2 (^)v '^^stent synectiques^ et la série

convergente :

1^ La série (i) aura pour valeur une fonction synectique de X dans Vaire (A) 5

Q.^ La différentielle et V intégrale de cette fonction^ pour tous les points intérieurs de Vaire (A), s'obtiendront en diffé^ rentiant et en intégrant chaque terme de la série ( i ) , pourvu que le contour dHntégration soit fini.

Nous verrons plus loin (91) que la série convergente

sin'ijc sin3^ , sin nx

sm^ 1 K — — . . .it: — rc. . .

représente une fonction discontinue \ cependant tous ses termes sont des fonctions synectiques de x : cela tient à ce que cette série n'est pas convergente pour les valeurs imaginaires de x. En un mot, elle n'est pas convergente pour les points intérieurs à une aire 5 on ne peut donc pas lui appliquer notre théorème : du reste, quand on la dîfférentie, elle perd sa convergence. Cet exemple nous montre avec quelle prudence il faut agir quand on différentie tous les termes d'une série pour obtenir la différentielle de sa valeur.

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( "o ) iEiHfiîi, considérons la série

x^ JT^ .r'

convergente quand le point x varie à l'intérieur et sur le cercle de rayon i décrit de l'origine comme centre : en la diirérentiant dans l'hypothèse x = i, on trouve une série divergente. Pourquoi ? C'est parce que l'on a appliqué le théorème que nous venons d'énoncer à un point du con- Cour, et qu'il n'a lieu que pour les points intérieurs.

74. CoKOLLAïuE I. — Du théorème que nous venons de démontrer on peut tirer deux conséquences importantes que nous allons passer en revue :

Lorsque la série

est convergente pour toutes les valeurs de x situées à V intérieur d'une aire (A), et que ses termes sont synectiques à V intérieur de la même aire^ la limite de la valeur de cette série^ quand on fait tendre xvers a situé à V intérieur de faire ( A ) , est précisément

^( [a) -I-, cp2(«) -f-o . .H- çp„(^) -f-

C'est tout simplement une autre manière de dire que

la série (i) représente une fonction continue.

Lorsque l'on Tcut trouver la limite de (i -4- ax)% on peut faire usage de ce théorème, et la démonsiralion se simplifie beaucoup 5 ainsi on a