II I
dans laquelle s est un nombre entier et positif^ on aura
2Tr V — I
le résidu devant être pris à l'intérieur d'une aire conte-^ nant l'axe des a: positifs et pas les points o, — i, — 2,...^ mais ce résidu se réduit à la moitié de sa valeur principale (car la quantité sous le signe ^ ne change pas
quand on change z en — z et ne devient infinie que pour ^ =±= o, ±1, zb 2, . . .), valeur principale dont il faudra retrancher le résidu relatif au point zéro. Mais la valeur
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( 97 ) principale de ce résidu est nulle; il reste donc
Zàn^^~~ ^ ^ ^\Ws^'27^zsJ--i^
V^ITT
.2.3. . .1S dz'^ y\^^2.7:ss/'-
On aurait trouvé de la même manière
^-l I T TT d''
in'
2 I . 2 . 3 ... 2 5 dz^^ \ sin TT z
en se servant de la fonction simzz comme on s'est servi
dee^^^^""i.
Remarque, — Il est souvent difficile de déterminer la valeur d'un résidu servant à sommer une série; mais, en le transformant convenablement en intégrales définies, on pourra s'assurer si sa valeur est déterminée etfinie^ ce qui permettra au moins de vérifier la convergence de la série que Ton s'était proposé de sommer.
Sur la continuité des séries,
67. Théorème I. — Si(^i{z)^ (^^[z]^,,. représentent des fonctions finies et continues le long du contour de longueur finie Zq Zi'^ si de plus la série
(l) /(z)rr:(p,(2;) ■4-(p,(r;)+...-{-<ï)„(z) -4-....
reste convergente et représente une fonction continue de z sur le même contour, on aura
j /(z)dz=z j (f^(z)dZ-]~ l f,{z)dz-i-, , . .
*/2r. Jz, Jz„
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( 9» ) En effet, soit R le reste de la sème (;i) ; on a
n = Il
Soit p le module maximum de R le long du contour d'iiîiégration^ nous aurons, en appelant da le module de dz^
ou
a désignant dans celte formule l'arc de contour ^^ z^^ or a ^st fini par hypothèse, fx a pour limite zéro quand
/i r-= 00 , donc (jLcr et pai" suite 1 R/Zz tend y ers zéro
quand n augmente indéfiniment. En passant alors aux limites, Féquation (2) donne
jy{z)dz=^ j\„(z)dz.
68. Nous avQns snppos.é le contour; Zq, Zi ou o^ fini 5 supposons-lui actuellement une longueur infinie, mais supposons les fonctions /' ( 2 ) , cr;^ ( s ) ^ op^ ( ^ ) , . . . , finies le long de ce contour ^ posons
Il viendra
r\f.(z)dx= f '/(^)^'(x)cLv, Jz, Jx,
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( 99 ) ., eii venu Je la Ibimule (i),
(^)..Of(.r)^x,
lOUi
prëc
)pésoaas la fonction t|; choisie de telle sorte que le con- •: X(oa:,i reste fini et que ^'(^) reste finie, réquationi lédena^ donnera
c'est- à-Hîîire., en vertu du théorème précédent,
f[z)dz^
(i^[z)dz.
Ainsi un cont( le long c finis, et ( transfort finie, la première
Quelqu cesse d'ètr
est encore t encore / j
'nous pourrons encore appliquer le théorème I à
our d'intégration de lon^gueur infinie, pourvu que
le ce contour les termes de la série (i) restent
:[u'il soit possible, en changeant de variable, de
aer la premier contour en un autre de longueur
dérivée dé l'ancienne variable par rapport à la
restant finie le long du nouveau contour.
es géomètres prétendent que lorsque la série (i)
e convergente au point Zi^ maïs que la sérié
I <p,(z)<^2; H- I r^2{z) dz -{- , .
convergente en ce point, cette série représente ^i^z^dz 5 en etfet^ disent-ils, régalite
r\f{^dz.=^^^\[z)dz,
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( loo ) ayant lieu quand à z^ on substitue une valeur .s inî^ermédiaire entre Zq et z^ , aura encore lieu à la limite pour z := Zi, Pour que ce raisonnement fût exact, il faudrait qu'au point ^i la série (3) représentât une fonction continue : c'est ce qui est loin d'être démontré.
69: Théorè:me IL — Si les fonctions cpi (x), ©g (^c),. . . restent synectiques à V intérieur de Vaire (A) *, si à V intérieur de la même aire la série
reste convergente et représente une fonction synectiquCy on aiir a
En effet, changeons dans l'équation (i) x en z^ multiplions par -— T r^ les deux membres., enfin in-
tégrons le long d'un contour fermé contenant le point x, et contenu dans Taire (A) 5 il vient, en vertu du théorème précédent^
L Ç /(^) dz^ ^ Ç ^'^'^ dz 1 .. .
Or, si l'on remarque que, en général,
l'équation précédente fournit précisément l'équation (2). Nous avons, dans la démonstration précédente, supposé le point X intérieur au contour (A), afin de pouvoir décrire autour du point en question un contour le long duquel les fonctions jf et (fi, Çs, • • • restent synectiques; aussi ne faut-il point s'étonner si Ton voit le théorème
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( »oi ) lo/mber en défaut lorsque x se trouve sur le contour (A) lui-même.
