TT

c'est la formule de Wallis.

f/sa^e des formules précédentes pour développer quelques fonctions en séries ordonnées suivant les puissances entières de leur variable,

98. Reprenons les formules qui donnent les développements de tangx, cotx, sécx et cosécx, écrivons-les de la manière suivante :

^""b-^— ^ ^ 3Tr 371

COt J? z=z { ■ 1 + h ^-— -

X \JC TT .X -\- 77/ y-'-r 2 TT .0? + 2 TT

sec 07 nz

TT ^ I I 37r 3??

cosec^ = ; — M~ r

.27 , \7: ■ J7 TT H- ^y \2 TT .X' „ li: -\- X j

on en déduit, en différentianl les deux membres n fois,

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ce qui est permis (73), et en faisant .r = o après la diffcrentiation,

D2.^otang^ ^j —i---^-^—-^^—^^^. \ pour 72 impair,

pour;2 pair; pour /z impair,

o . . pour n pair;

D^o secr

£^o^f^„J =^b;T;-Q;;^ + E;T.-;;;i^,+---) pour/zpair,

o pour n impair ;

I>x=o ( cosécr j / ^ f ^ ^ ^

. ^"+.\,"+. 2"--, • 3„+,-4i-,+--) P»"'-/^ impair,

V O pour n pair

En désignant d'une manière générale par 5„^i, f„^i, <^n+i^ ^/.+i les valeurs des quatre séries qui entrent dans les formules précédentes, on aura

( I ) tang^ = ''^-z -^2 H- ^^ — 5/, -1- ... ,

(2) COtJP = ^ ^2^3 ^^___ ^^

(3) sécx ~ — 0-, + .r^ — 0-3 + ^4 — G-r, -4- ^'^ — 0-7 -f- . . . ,

TT TT^ TT^ Tt'

(4) COS('^C.r rr: ^ + .r - ta + x=^ -• r,, + .r^ — Tg -f-

.r 7r^ 7T^ tt''

En intégrant la première équation entre les limires x et o, on trouve

— / cos^ = : .^2 -H -7- T ^^4 + . • .