TT
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( ^43 ) Gu bien
(5) /cos.=[..^(îy.,H-'^(îy,,,+|(îy .,+...].
En intégrant l'équation (2) entre les limites a et x, on a, en faisant converger a. vers o dans le résultat,
Les séries (i), (3) et (5) sont vraies pour les valeurs de X dont le module est moindre que -•, les formules (2);
(4)5 (6), quand le module de x est moindre que tt.
Les formules (5) et (6) sont éminemment propres au calcul des Tables des logarithmes sinus et cosinus. Mais il faudra auparavant calculer ^„, ;f„, (7„, t„. Nous verrons tout à l'heure comment on peut effectuer ce calcul.
En changeant dans les formules (i), (2), (3), (4) oc
en X V — 1 5 on trouve les développements de ^ __ ? etc.
Nous savons que les fonctions tango:, arcoto:, sécir, j:coséca:, etc., sont développables par la formule de Mac-Laurin; nous aurions donc pu poser à priori
tang.27=: Ai^H- A3 j;^ -H- As-r^ -h. . . .
Nous ne mettons pas de puissances paires, parce que,
en changeant x en — x, tango: change de signe. Pour
déterminer Ai, A3, A5, etc., nous remplacerons tangx
sin .r , 11.»
par 9 et nous aurons, en chassant le dénominateur
^ cos.r
coso:,
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Effectuant le produit dans le second membre et égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de X, on trouve
A', A3 As . I
La loi de formation est évidente. Ces équations permettent de calculer Ai, Ag, etc. On trouve ainsi
ou
.X'^ 2 on
tang^ =zx -{- —--^--p x''-\- — -'-5 j:^ H" . . . . ^ 3 i5 1000
On trouverait de même
.t' 5,x^ 61 secx =:: I H h ' — jr H o;^ H- . . . ,
I X noc"^ Zix^
— /cos.2; = 1 h -7^ 4- .
Ismx =z Ix — -X PS • •
L^dentification de ces formules avec les développe» ments primitifs fournis parles équations (i), (2), (S), (4) fournit la valeur des séries 5„, ^„, cr„ et t„. En admet-
( '45 ) tant que l'on ait la patience de calculer un nombre suffisant de termes dans les développements de tangx, cotx, sécx et icosécx, on trouve :
Si l'on veut calculer une Table de logarithmes sinus ou de logarithmes cosinus, on partira des formules
— /cosa; = — H
/ sin .r = /.r —
dont on déterminera xin nombre suffisant de termes par la méthode des coefficients indéterminés. Cette méthode sera appliquée aux fonctions tangx et cotx, comme nous l'avons fait pour tangjr. En intégrant les formules ainsi obtenues, on aura un nombre de termes aussi grand que Ton voudra dans les formules (7) et (8). Mais pour avoir une limite de Terreur, il faudra avoir recours aux formules (5) et (6) qui seules peuvent donner une expression générale des coefficients.
Lorsque la série de Mac-Laurin cessera d'être applicable
à l'une des fonctions tangx, cot:r --> sécj:, etc., la
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série de Laurent pourra toujours leur être appliquée, et ou pourra les développer d'après une double série ordonnée suivant les puissances entières positives et négatives de la variable. A cet elïet, on pourra partir de leurs développements en fractions simples. Ce développement se partagera en deux parties, l'une contenant des fractions développables suivant les puissances négatives de la variable, et Tautre synectique à l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme centre-, à celte partie, on appliquera le théorème de Mac-Laurin, et l'on aura ainsi le développement clierclié en double série.
Des séries récurrentes.
99. Les séries récurrentes ont été d'abord étudiées par Moivre, puis par un grand nombre de géomètres et particulièrement par Lagrange.
On appelle en général série récurrente une suite de termes dans laquelle cliacun d'eux est une fonction linéaire toujours la même des p termes précédents-, les coefficients de cette fonction forment dans leur ensemble ce que l'on appelle V échelle de relation de la série.
Les progressions géométriques et arithmétiques sont des séries récurrentes dans lesquelles les échelles de relation sont respectivement de la forme o, q et §^ Çy § désignant les raisons de ces progressions.
Problème. — Une fonction rationnelle de x est toujours monodrome et mo.nogène, elle est par conséquent développahle par la formule du commandant A. Laurent^ excepté pour les valeurs de x dont le module peut rendre la fonction infinie. On propose de trouver le développement de cette
fonction soms une forms qui ne contienne pas le symbole ^• Pour résoudre ce problème, nous supposerons la frac-
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( '47 ) tion rationiielley (.r) décomposée en fractions simples, E (.r) désignant une fonction entière. On aura alors
Supposons le module de x compris entre ceux des deux infinis ocj. et aj,^i de/(x), en sorte que l'on ait
mod. a^- ^ . . . ^ mod. a/,^4.,^ mod.27 ^ a/,.^ mod. a^__, ]>>... ^ mod. a,;
on pourra écrire ainsi qu'il suit Féquation (i)
• OCnf
Am 1 i
Les quantités placées sous le premier signe "V se développent par la formule du binôme suivant les' puissances décroissantes négatives de x\ les quantités placées sous le second signe se développent par la même formule sui- , vaut les puissances croissantes de x. En ajoutant les séries ainsi obtenues avec le polynôme F [x]^ on a le développement demandé.
100. Théorème I. — Le développement d'une fonction rationnelle ordonné suivant les puissances entières de sa variable est toujours récurrent.
Pour démontrer cette proposition, nous commencerons par démontrer que si dans le développement il n'entre que des puissances entières, il est nécessairement récurrent. En effet, si nous posons
y.rx'
p.0 -f- p, ,^ i . . . H- py
,xJ
-.:==La<^-\-a\X -+- a -^ x"- -h ... -h a,, x" H-
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il vienl, en ebassaiit le dénominaleui')
z= a^i l^D -h . . . -\~ .r" [a,, ^Iq -h «^;,, /x, -i- . . . -f- <7;,^.y uy ) •-}-.. . . ; d'où Ton déduit, en supposant n^i\
(in P-0 -}- '^n-i p^, -+-... -4- <^„-y f/.y = O.
Celte relation peut encore s'écrire ainsi qu'il suit :
C'est une relation linéaire entre / -f- i termes consécutifs. La série (i) est donc récurrente^ son échelle de relation est
p., X 1^,2 .rp- ]Xj xJ
Les termes de cette échelle sont ceux du dénominateur de la fraction pris en signe contraire divisés par /a^.
Remarquons avant d'aller plus loin que si i est plus petit que y, les premiers termes de la série seront déjà récurrents 5 que si, au contraire, z est plus grand que /, le premier terme récurrent sera seulement le (z + 2)'^'"^.
Supposons en second lieu qu'il n'entre que des puissances négatives dans le développement; on posera encore
po -4- |:xi X -4- . . . -i- /xy.r/ X J?"
Mais en divisant les deux termes de la fraction qui entre dans le premier membre de cette équation par une puissance convenable de x^ i! devient une fonction rationnelle
de -5 et^ en répétant le même raisonnement que tout a
riieure^ on arriverait encore à démontrer que le développement doit être récurrent.
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Cela posé, revenons à l'équation du numéro précédent
n==.k ii=zt
Les deux derniers termes de celle équation sont deux fonctions rationnelles de x développables, la première suivant les puissances négatives, la seconde suivant les puissances positives de X'yf[x) sera donc [abstraction faite des termes modifiés par la présenc,e du polynôme E [x)~\ la somme de deux séries récurrentes, c. q. f. d.
Théouème il — Réciproquement y toute série convergente et récurrente, ordonnée suivant les puissances entières croissantes [ou y ce qui revient au même, décroissantes) d'une même variable .r, est le développement d'une fonction rationnelle.
Considérons en effet la série récurrente
a^ -i- ^2 -f- . . . -f- Ua + ««-+-1 -4- ... ; soit «1,» « . .^ iip son échelle de relation. On aura Up^^ = ai Ui + a^ «2 + . . . -+- (^ip lip,
Désignons par Si la somme des i preoriers ternies de la série, et ajoulons les équations précédentes. Il vient
S,^ — Sp = ai Sn-p H- «2 [Sn-p-^l — J, ) + . . . H- ap{Sn-.i — Sp^i),
Si nous faisons ?z = oo , cette formule devient, en dési-gnant par s la limite de 5„,
.ç(Vz,-{- <72~f-. . .~\- ap—i)=z a^^Si-^ Û3S2 +. . .4- ûp.Sp^^i =- Sp, a^ Si -H r/3 .Vn -+-... H- ap Sp i -•- Sp ny --h ^2-1" . , .~\- a„—i
( i5o ) Celle équation prouve que si z/„ est un polynôme entier par rapport à x ou même mie fraction rationnelle, s sera une fonction rationnelle de x, ce qui démontre en particulier le théorème que nous avions énoncé.
401. pROBLiîME II. — Étant donnée une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une même lettre^
/{x) =:ao-h a^œ -^- a2X^ -\-. . . 4- iinX",
on propose de reconnaître si elle est récurrente.
Si cette série est récurrente, la fonction ^(x) sera de la forme
On devra donc avoir
[Kjxi
ou bien, à partir d'un certain terme,
. . + f/.y a,,j =. o, py«„j+i=:0.
p-o ^'fi+Zf
■ P; ^-ht-^j^k -
OU, ce qui revient au même, on devra avoir, quel que soit n (suffisamment grand),
^ni ^n—ly • • • j ^n-
Si cette condition est satisfaite, les équations (a) feront connaître l'éclielle de relation, et le théorème précédent fournira la valeur de la série.
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(.5.) S'agit-il, par exemple, de la série
on reconnaît que
donc cette série est récurrente.
S'agit-il de
donc cette série est récurrente.
On peut quelquefois simplifier la méthode précédente en transformant d'abord la série (i) à l'aide d'un procédé imaginé par Euler,
Posons
il vient
De là on tii
[0 -h-xY'^^'
p n(n~V-'i)^.. [n ~hp — 2)
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( -'52 ) En faisant 7 = o, il vient
rl.2.3...£» — i pip — ^i) i.'à. . . p — I P""^ —T. ^^ ^
et, par conséquent,
donc, pour toutes les valeurs de )^ pour lesquelles /"(x) restera synectique,
(4) /(.^) = ^; + ^«. -h-^A^.+'gA^^. -I-....
Mais pour les petites valenrs de /=. oc est petit, et par conséquent f{oc) synectique, et la formule précédente est vraie. Quand on y fait ôrrri, on a la formule d'Euler.
Ceci posé, toute fonction rationnelle de x est une fonction rationnelle de y^ et cela en vertu de l'équation (3). Si donc la série (1) est récurrente, la série (4) le sera pareillement, et l'on devra avoir
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( ï53) Ce déterminant sera beaucoup plus simple que le premier dont nous avons parlé. Enfin on pourra encore le remplacer par le suivant :
9 désignant un nombre quelconque.
On voit, par exemple, ainsi que la série dont le terme général est
nPxP
est récurrente. Car si Ton fait a^ égal à /ï^, la différence ^l jzème jg ^^ ggj.^ nulle, et alors tous les termes du déterminant (5) étant nuls pour des valeurs suffisamment grandes de n^ ce déterminant s'annule de lui-même.
Si Ton y trouve quelque avantage, on pourra transformer la série (4) comme la série (i) et lui appliquer la même règle.
Le plus souvent, pour sommer la série (i), on emploiera les moyens indiqués dans les Traités d'Analyse et qui consistent à chercher une équation différentielle entre X el f [x).
Si Ton remplace dans la formule (4) y par sa valeur tirée de (3), on a
Si Ton fait x = — ï . on a
«, -I- -7 Art, — - A^rt, -^ —- t^Ui\ ■ 4 o ib
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( '54 ) Euler employait celte formule à la sommalioii des séries divergentes. (Voir Pars posteriof insîitutionum calcifjli differentialis , capiit I, De ir ans formations serierum : (c . . . Sit igitur proposita haec séries Leibnirzii
» in qua cum ornnes termini sint œquales fient onines
)) differentise = o, ideoque oh a = i erit s = )) Et
plus loin : « ... Sit proposita ista séries
^ . . .111, )) Lum ergo sit <2 = i, Za<2 = i, erit s = j = y » )
Il est bon de s'assurer dans quel cas on peut employer la série (6)5 car elle est très-utile. Posons
<7o — «, + <7, — . . . ± ^„ — Sn^
on aura les deux identités
,y„ = «0 -f- ^«1 + A^3 — . . — (— <7„ ou -f- Aâ'„.i), Sn=^ ao — <2i — A«2 — ^^h — • • • — ( — A«„„i ou -f- a^).
Ajoutons et prenons la moitié, il vient
OU bien
5„ dz - «„ r=; <r/o ai H A«, — - àa^— , . .±- Aâ!„„i.
On déduira de cette suite comme de la précédente
s„ ± - <'?,i zp y Ari„i =Yio rt, -+-7 Art, — . . . Jb y AV/„,3
( «55 ) et firialement
I il
Supposons actuellement toutes les différences que l'on peut former avec a^^ «g,..., finies et positives et toujours
ou (^Paq^^<^i^P~^ ttq ou A/^â'y, ^ sAP'^'tty;
le premier membre de Féquation précédente sera égal
à .v„ au terme - a^ ou —^^ A"~^«i près, c'est-à-dire pour
Si Ton applique cette transformation à la série
on trouve
car on a
A/^^^rrry
Ce fait explique un paradoxe, c'est que la série
