J — 00 •J OL

J — 00 t>^ — oc

en observant que ces intégrales ne diffèrent des premières que par Finiroduction sous le signe I d'éléments

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de la forme sj — i(^(|)sinp.(g — x)dt qui se détruisent deux à deux; mais ainsi l'on voit que les formules (3) et (4) supposent les intégrales réduites à leurs valeurs principales.

Enfin les formules (i) et ( 2) pourraient encore s'écrire :

<p(^)z=z~ I I <pC^)cOSp(^ — .^J^-^^^^p,

Jo tJ Cf.

(7) ^(■^) — - I / f(?)cOSfA(? — ^)<^?<^p.

Jo J — ce

Reprenons maintenant la formule de Lagrange,

sin;?^sin/2Ç(p(Ç)^Ç,

^ 2 jy

et remplaçons ^ par (^ — a), ^ par -r [x — oc) ,^

entin (P 1 7^ [œ — a) par (9{x) : nous aurons

(S) <f{x)=:^^ y l sin/27r'^Ilîsin/27r-=^<p(?)^?.

La formule d'EuIer, par une transformation analogue, se mettra sous la forme

f{i)dï

ces /2 TT

X cosm: cp(H)fl^H.

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( i7« ) Si l'on suppose alors /3 = oo en procédant comme tout à rheure, les formules (8) et (9) donneront

(10) (^(x)z=- l j sinpi(x — a)sinpi(? — a)(p(?)f/?<ifA,

(il) cp(x) = - / I cospt(^— a)cos|x(? — a)«p(Ç)fi?Ç^fx,

pour toutes les valeurs de x comprises entre a et -f- co .

Applications.

108. Reprenons les formules (2), (10) et (11) du numéro précédent, faisons-y a = o et a = 00 , nous aurons :

(i) cp(j;)r=:— / / (p(?)cospi(? — a:)â?fAc?Ç,

(2) ^(^)— — / I <p(?)cOSf/(?— ^)^p.^/?,

t/ 00 t/ — QO

2, y^ co /î co

(3) (^[x)='- I I (|)(^) sinfJ!.Çsinpt.r<i|j!.^/Ç ,

(4) (p(.r)r=:- I I (p(5) COS|X^COS|X^c/^ fl?^ .

Ces formules ne doivent être employées qu'autant que cp(^) ne devient pas infini sous le signe 1 et que x reste

compris entre les limites o et 00 . Pour les formules (i), (3), (4)5 quand (p(|) est discontinu en x, le premier membre de ces formules doit être remplacé par la demisomme des valeurs de cp(^) au point x\ Enfin l'intégration doit être effectuée d'abord par rapport à '£ ,

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( ^7^ ) Prenons par exemple la formule (2) et posons cf(x) égal à 2 7r quand x varie de — l k -f- / et à o pour toutes les autres valeurs de x. On aura

x) =: 1 j C0S|x(? — x)d^dl

J — 00 t/ — TT

^ûx\}x{l — .r) -f- sinp,{/ -f- .:r)

Ainsi on peut poser

^sin/ptcosy.^" ,

X"^^sina/cosy..sr: , — d^r=zTt:\

pour a:=i: 05 on retrouve la formule connue

Si dans les formules (3 ) on fait ç(^) = e ^, en obserque

'sinp^c?^ :

e ^cosiA^r/? — - — ^ — :?

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(173 ) il vient

pour les valeurs positives de x seulement.

Si dans la formule (i) on suppose cp(x) =x depuis o jusqu'à I et égal à o pour des valeurs de x plus grandes, on a

r "^ °° r sin a ( I — œ) cosL^fi — x) — cosiîx.r'l ,

P.TT^zzr j . L^ i 4- . LA 1 C \f:iur,

et en observant que

■ co

on a

/"^°^sintj!,(i — x) dy^Z=7C,

ces ai — x) — rCOSa.r

Si l'on fait o: = I , il faudra réduire le premier membre à sa moitié, ce qui donne

' — COSa , a II

, sm^ - p

Fsi Ton change (jl en 2^, il vient

p r"^°° /sinpt\2

ft^(/.

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