CHAPITRE PREMIER

THEOREME DE HELMHOLTZ

1. Equations de rhydrodynamique. — Soient cc^^y^, Zq les coordonnées d'une molécule de fluide à l'origine des temps t = o ; X, y, z ses coordonnées au temps i ; u, v, w les composantes de sa vitesse; p la densité du fluide, jj sa pression.

On peut prendre comme variables Xq, y^, z^, f, c'est le système de Lagrange, ou x, y, z, t, c'est le système d'Euler. Dans ce qui suivra, j'adopterai les notations suivantes ; je désignerai par :

du du du du

dt doÛQ dy^ dzQ

les dérivées prises par rapport aux variables de Lagrange, et par :

'eu "bu Tiu 'bu

bt 'bx by bz

les dérivées prises par rapport aux variables d'Euler.

Dans le système de Lagrange, x, y, z sont fonctions de ^0' Vis- -^0' ^•

dx du dr

dt ' dt ' dt

sont les composantes de la vitesse ;

du dv dw

li' dt' dt'

celles de l'accélération.

Pour passer d'un système de variables à l'autre, il suffit d'appliquer les règles ordinaires de la différentiation, et d'écrire :

du ^u j^ ^u dx 1^ 'bu dy ^^ bu dz ~dt ~ 'bi'^ bôcUl^ by 'dt'^ bz dl

du bu , bu , bu , bu

^ ' dt bt ^ boG ^ by ^ bz

Et de même

dt bt ^ bx ^ by ^ bz

Soit un élément de volume dz : la masse de liquide qu'il renferme est po?T. J'appellerai pXo?T, pYt/r, pZc/T les projections sur les axes de la résultante de toutes les forces qui agissent sur cet élément. Les équations de l'hydrostatique, exprimant que cet élément est en équilibre, sont les suivantes :

bx~

= pX