PY

bp

= pZ

ÉQUATION DE l'hYDRODYNAMIQUE 5

Pour passer de ces équations à celles de l'hydrodynamique, il faut ajouter aux forces réelles les forces fictives d'inertie (principe de d'Alembert). Les composantes de ces forces d'inertie sont respectivement égales aux composantes de l'accélération multipliées par la masse et changées de signe: soient :

, du j dv , dio

prf,., -pc^^' -'^^^'Ti'

Les équations de l'hydrodynamique seront donc : 1° Dans le système de Lagrange :

^ — X — — p3a? dt

^^' pDy dt

Ip dw,

Q^z^ dt'

2° Dans le système d'Euler :

^ ' pc)a7 'àt Tix 'èy 'dz '

2. Dans tout ce qui suivra, je supposerai que x, y, z soient des fonctions continues de a?^, y^, z^. Cette condition n'est pas toujours satisfaite. Soient en effet deux réservoirs remplis de liquide, séparés par une paroi percée d'une ouverture, et dans l'un desquels règne une pression élevée. Il se produira une veine liquide en dehors de laquelle le liquide demeurera immobile, tandis qu'à l'intérieur de la veine il prendra un mouvement uniforme. Supposons que la veine ait la forme d'un cylindre parallèle à l'axe des x.

A l'extérieur du cylindre, nous aurons :

œr=x^ y = y^ * = o ; à l'intérieur :

X = Xç,-\- vt y = yQ z =z Zq.

X est donc une fonction discontinue de ,Tq, y^, z^.

Si.T, î/, z sont des fonctions continues de i»^, y^, z^, les molécules de liquide qui au temps t = o forment une courbe ou une surface continue formeront encore une courbe ou une surface continue à une époque quelconque ^ ; si la courbe au temps o est fermée, elle le sera encore au temps t.

En effet, supposons que les molécules dans leurs positions initiales forment un certain arc de courbe. Les équations de cet arc de courbe pourront se mettre sous la forme :

^0 = /"o {^) Po = fô {^) ^0 == /o {^)

/"o, /"o, /"o étant des fonctions continues du paramètre a.

Au temps t, lescoordonnées des molécules deviennent .-r, y, z, qui, par hypothèse, sont des fonctions continues de XQ^y^, z^. Ce seront par conséquent des fonctions continues de a :

a; = /• (oc) y=r' (a) ^ = T (^)

Ces équations représentent encore un arc de courbe continue.

Si la courbe initiale C^ est fermée, sc^, y^, Zq sont des fonctions périodiques de a. Comme x, y, z sont des fonctions uniformes de X, y, z, ce seront aussi des fonctions périodiques de a ; et la courbe C, qu'occupent les molécules à l'époque t, sera également fermée.

Si les molécules, à l'origine des temps, occupent une sur-