CHAPITRE IX
143. Jusqu'ici nous n'avons étudié que le mouvement des liijuides indéfinis ou remplissant complètement le vase dans lequel ils sont renfermés. Nous allons nous occuper maintenant du cas où les liquides ne remplissent plus complètement les vases et possèdent une surface libre en contact avec un autre tluide.
Imaginons que les molécules décrivent des circonférences dont le centre soit sur l'axe des z, et le plan perpendiculaire à cet axe. Si un tel mouvement est possible, il sera nécessairement permanent.
Si la pression et la densité sont les mêmes tout le long de l'une des circonférences, l'équation de continuité est vérifiée. Tout le système est de révolution autour de 0^, à un instant quelconque, la vitesse d'une molécule M f/î^, 40) est dirigée suivant la tan-
FLUIDES PRÉSENTANT UNK SURFACK LlltRK 177
gente à la circonférence G, et elle a même grandeur pour tous les points de cotte circonférence.
Prenons dans le plan ZO.M un petit élément de surface : dans la révolution autour de O^- cet élément engendre une petite surface. Le tluide qui occupe le volume limité par celle surface éprouve une rotation autour de O^- et son volume n'est pas altéré.
Posons :
MP = r = >Jx-' + y'K
La pression p et la densité p sont fonctions seulement de r et de z, d'après les hypothèses que nous avons faites. Par conséquent :
ÎO =: o
use -\- V1/ = o
Le demi-carré de la vitesse
sera aussi une fonction de r et de z seulement.
Si la pesanteur est la seule force extérieure, qui agisse sur le fluide (laxe des z étant vertical), nous avons posé [4] :
\ = gz
La fonction •} existe à condition que p ne soit fonction que de p. C'est ce qui arrive si le fluide est un liquide homogène ou un gaz qui éprouve des transformations isothermiques ou adiabatiques.
THKijRIE DES TOUBHILLONS. \2
du " dt
dv
7iz~
'èlO
Dans le système de notations de Lagrange, les composantes de l'accélération ont pour expression :
(Voir § 4.)
D'autre part, si une molécule décrit une circonférence d'un mouvement uniforme, l'accélération se réduit à l'accélération normale :
dirigée suivant MP. Ses composantes sont :
D'ailleurs:
et par suite :
3J; c)i|i dr
Tix 3r dx
II faut donc que ^ ne dépende que de r : il en sera de
même de -r^ et de T. La vitesse ne dépend pas de z, et les ùr
tubes tourbillonnaires sont des cylindres de révolution autour de Oz.
144. Cas particuliers simples. — Étudions d'abord quelques cas particuliers simples :
i° La vitesse est inversement proportionnelle à la distance r : alors T est inversement proportionnel à r^, ou
a étant une constante.
m jt
dr r^
et en intégrant, il vient
Donc :
(3) I — T = const.
Nous retrouvons l'équation de Bernouilli, ce qui était facile à prévoir. Cette équation a été démontrée, en effet (24-25), dans le cas où il existe une fonction des vitesses, c'est-à-dire où le tourbillon est nul et où par conséquent la vitesse varie
comme -• Actuellement nous supposons qu'il y a seulement
un tube de tourbillon, ayant Os^ pour axe, et en dehors duquel le tourbillon est nul : nous sommes donc placés dans les conditions énoncées.
145. 2° La vitesse est proportionnelle k la distance r, autrement dit le liquide possède un mouvement de rotation autour de l'axe des s, avec une vitesse angulaire constante:
il se meut à la façon d'un corps solide. On a évidemment :
T = ar"
^ ^ - 2ar clr
i|> = — ar^ -|- const.
ou
(4) (J; -f T = const.
Ce résultat était aussi à prévoir.
Rappelons, en effet, que nous avons appelé J [5] l'intégrale :
3 =z I udx -\- vdy -j- lodz prise le long d'un arc de courbe. Nous avons démontré que :
d] d']^ .-\- rfT étant une différentielle exacte, — est nul quand la
courbe d'intégration est fermée. Ici, d'après l'équation (4),
ij/ + T = const.
ou
di
-T- =: O dt
même quand la coucbe d'intégration n'est pas fermée.
En effet, nous avons admis que le liquide tournait d'un mouvement uniforme autour de 0^; la courbe d'intégration tourne aussi autour de 0^, sans se déformer. Menons au point M [fig. 41) un vecteur MV représentant la vitesse. En
FORMR DK LA SURFACE LIBRR
considérant ce vecteur comme une force, J est le travail qu'efîectuerait cette force pendant que le point parcourt la courbe d'intégration AB. Quand cette courbe, dans sa révolution autour de Oz, a pris la position A'B', le vecteur M'Y' a conservé la même grandeur et la même position relativement à A'B' : M'V s'obtiendrait, en eflfet, en faisant tourner MV autour de Oz, jusqu'à amener AI en M'. Le travail J de la force M'V, quand le point M' parcourt A'B', est donc le même que le travail de la force MY quand le point M décrit AB.
Fig. 41.
146. Forme de la surface libre. — Supposons que la seule force extérieure agissant sur le fluide soit la pesanteur.
Prenons pour axe des z la verticale, en comptant z positivement vers le haut. Dans ces conditions :
gz
Si le fluide est un liquide homogène : p = const.
•b = — gz
S'il s'agit d'un gaz dont la température est constante, la densité p est proportionnelle à la pression, et en désignant
par p une constante :
Enfin, pour un gaz qui subit des transformations adiabatiques :
en appelant y 'e rapport ^ de la chaleur spécifique sous volume constant o à la chaleur spécifique sous pression constante C. Alors :
146 bis. Soit un liquide homogène sur la surface libre duquel s'exerce la pression atmosphérique. Si nous appelons p l'excès de la pression réelle sur la pression atmosphérique, il faut faire dans l'équation (5) :
p = o et écrire :
(8) <f = — ff^-
<]/ est une fonction de r, et cette équation est celle de la surface libre du liquide.
Supposons qu'il existe un seul tube tourbillonnaire, ayant la forme d'un cylindre de révolution autour de Oz; le tourbillon est constant à l'intérieur de ce cylindre, et nul à l'extérieur. Le cylindre possédera donc un mouvement de rotation uniforme.
Soit r^ son rayon; à l'intérieur de sa surface, c'est-à-dire pour r < r-Q, la vitesse est proportionnelle à r, et
T = ar^.
A l'extérieur, pour r > r^, il y a une fonction des vitesses et
rp ^
Ces deux expressions de T doivent prendre la même valeur en un point de la surface du cylindre, c'est-à-dire pour r ■= 7\. Donc :
d'où :
Calculons au moyen de ces expressions les valeurs de <^, A l'intérieur:
(|/ -f- T = const,
donc :
et à l'extérieur;
donc :
^ — T = const,
Ces formules doivent donner la même valeur de ^ quand on y fait r = r^. Ce qui donne une relation entre les constantes C et C :
Je puis disposer arbitrairement, de la constante (7 : chan ger sa valeur revient en effet à déplacer le plan des xy parallèlement à lui-même, ce qui a simplement pour effet d'ajouter une constante à z et, par suite, à ■]>. Je vais prendre G' = 0. D'après ce choix, nous aurons pour r = os :
et par conséquent
La surface libre du liquide admet donc un plan asymptotique; c'est le plan que nous avions choisi pour plan des xy; c'est le niveau du liquide à une distance très grande de l'axe. L'équation de la surface libre, rapportée à l'axe de rotation et au plan asymptolique, sera donc :
1° A l'intérieur du tube tourbillonnaire :
(9) gz = -:. {>-' - ri) ;
2° A l'extérieur de ce tube:
La première représente un paraboloïde : à l'intérieur du tube, la méridienne de la surface libre sera un petit arc de parabole.
La seconde équation représente une surface dont la méridienne est formée de deux branches asymptotes à l'axe des z [fig. 42j. Les deux courbes se raccordent sur la section du tube de tourbillons.
Fie;. 42.
