HYPOTHÈSES. — NOTATIONS

repos, autrement dit que :

u = V = to =^ o ;

enfin que sur un élément rfw de cette surface agissent des forces superficielles, dont les composantes sont :

^^ du , 17 d^ j M <^'^ j

dn dn dn

Supposons que les forces extérieures agissant sur le liquide

admettent une fonction des forces V. Les équations de

Lagrange (1) deviendront, en y introduisant la force de

viscosité :

3» du , ^V , , , .

pSa? dt ex ^

w ^ = - rfT + Ji; + '^''''

pc)^ dt * ôz

Lorsqu'un élément de volume dr du liquide subit un déplacement dunt les projections sont dx, di/, dz, le travail effectué par les forces qui admettent la fonction V sera

et en y ajoutant le travail de la force de viscosité, on obtient le travail réel :

dîB = prfx [dV -j- K {^adx -}- ^^-dy + ^lodz)].

Nous poserons encore :

dis = pc^T. dY

OÙ

(2) o?V' = c/V + K [ù^udx + ^vdij + A wdz).

Seulement, il est essentiel de remarquer que cette notation dS' n'a qu'une signification purement symbolique, car dy n'est plus une différentielle totale.

Ensuite, nous écrirons :

et nous retrouverons les équations (1) sous une forme simplifiée, analogue à celle que nous avions obtenue au § 4,

3<|/ du

^x dt

^ ' 'ày ~ dt

3j/ dw

'èz~ "di

en remarquant, comme plus haut, qu'il s'agit seulement de symboles : d<^ n'est pas une différentielle totale, mais est défini par la relation (3) ; r-^» ^i -^ ne sont pas les dérivées d'une ôx ôy ûz ^

même fonction ^ [x^ y, z), mais seulement les coefficients de dx, dy, dz dans l'expression de d'i^.

150. Le the'orèroe de Helmholtz (5-6) s'exprime par la relation :

L'intégrale prise le long d'une courbe formée est nulle,