HYPOTHÈSES. — NOTATIONS
quand d-l-\-dTesi une dinérenlielle totale, c'est-à-dire quand il s'agit d'un fluide non visqueux.
Mais, si on ne néglige pas la viscosité, d'l> -f- rfT n'est plus une différentielle totale. D'après les relations (2) et (3), on a alors :
— = / (dv — ^+ dT\-{-Kf[^ndx-{-^v^y-\-^w^z).
La première intégrale étendue à un contour formé est nulle, d'après le théorème de Helmholtz (6). Il reste donc :
(7) T'= ^ C{£^udx + ^vdy -f- ^wdz).
Cit U
Faisons passer par le contour d'intégration G une surface fermée quelconque. La courbe G limite une certaine aire A. Soient l, m, n les cosinus directeurs de la normale à l'élémeni dtù de l'aire A. Nous avons trouvé, en appliquant le théorème de Stokes (8) :
J = 2 Ç[l\ + m-ri + nOj dià
l'intégrale étant étendue à tous les éléments dfn de l'aire A; l, -ri, Ç étant définis par les relations (1) du § 9. Transformons l'intégrale (7) par le même théorème, il vient :
f^udx -f- ù^vdy -f- ^wdz
r, ^/d^^a d^v\ . (db.u d^io\ (cl^v dbM\\ =J'^^V\-d^--17n''\-d7-^r\dx dy)\
Remarquons qu'on peut intervertir l'ordre des différentia-
lions et écrire :
dAio
^ dw
dy
dy
rfAu
dv
dz ~
dz
ou en retranchant membre à membre
(iA^^ dAv fdw dv\ c)\^
dy dz \dy dz)
En transformant de même les autres termes, on arrive finalement à la formule :
(H) y = 2K I {l\\ + mA-^ 4- wAC) dw.
151. Conditions nécessaires pour que le théorème de Helmholtz soit encore applicable. — Nous avons démontré [14] que, d'après le théorème de Helmholtz, les surfaces de tourbillon et, par conséquent, les lignes de tourbillon se conservent dans le mouvement du liquide, si on néglige les forcés de viscosité ou de frottement. Si on tient compte de ces dernières forces, il peut n'en être plus de même en général. Le théorème ne sera plus vrai que dans des conditions particulières que nous nous proposons de déterminer.
Le théorème de Helmholtz [6] s'exprime par la condition :
Le long d'une courbe tracée sur une surface de tourbillon, J = o
puisque tout le long de cette courbe le tourbillon est représenté par un vecteur tangent à la surface.
Pour que — reste nul quand on introduit les forces de vis ' dt
cosité, il faut que :
l\\ -)- '/nAr, -j- nA^ = o
d'après l'équation (7).
Cette relation exprime que le vecteur (A;, A-rj, A^j se trouve dans le plan de l'élément rfa>. Traçons ce vecteur : s'il est tangent à la surface J = 0 et au bout du temps dt, on a encore
J = 0. Puisque — =: 0, la surface de tourbillon est conservée.
Si nous voulons que les lignes de tourbillon se conservent, il
faut qu'un élément quelconque de ces lignes reste constamment langent au vecteur tourbillon. Il est nécessaire alors que le plan de l'élément rfw contienne à la foi?= les deux vecteurs, et comme cela doit avoir lieu pour un élément diù quelconque passant par le tourbillon, il faut que ces deux vecteurs se confondent en direction, autrement dit que :
En général, cette condition ne sera pas remplie et les lignes de tourbillon ne se conserveront pas.
152. Dans le cas pirticulier où il existe une fonction de vitesses, le tourbillon est nul, on a donc :
et par suite A;, Ar,, AC sont identiquement nuls. Pour une
courbe quelconque, nous pouvons écrire :
di
Et la fonction des vitesses subsistera donc à un instant quelconque.
Cette conséquence de nos raisonnements paraît constituer une objection contre les hypothèses qui leur ont servi de point de départ.
153. Cas particuliers où les lignes de tourbillon se conservent. — Supposons que dans un liquide indéfini les lignes de tourbillon soient des droites parallèles à l'axe des z, C et 7] sont nuls, ainsi que A? et Ati: mais X, et AÇ sont différents de 0. Les conditions (9) sont remplies, et les lignes de tourbillon se conservent. Il suffit d'ailleurs, pour le démontrer, de s'appuyer sur des considérations de symétrie.
Considérons, en effet, un plan quelconque parallèle au plan desa??/. Ce plan est un plan de symétrie, que l'on tienne compte ou non du frottement. Si, au début du mouvement, les lignes de courant sont planes et situées dans des plans parallèles au plan des tcî/, elles resteront toujours dans ces plans par raison de symétrie, indépendamment du frottement.
Seulement, dans les conditions actuelles, Ç ne conserve plus
sa valeur, et — n'est plus nul.
at
Prenons, en effet, comme contour d'intégration, la section
droite d'un tube tourbillonnaire. En raison de ce choix, il
faut faire :
CAS PARTIC. OU LES LIGNES DE TOURB. SE CONSERVENT 19o et il vient :
(10) J = 2/cc/o)
La section du tube d(M est constante: en effet, le volume limité par ce tube et deux plans z:=z^ei z= ^2 est constant, d'après l'équation de continuité. Ce volume est égal à
z^ et Zj restent constants, puisque la vitesse est toujours parallèle au plan des xy, donc c/w est constant.
Différentions l'équation (9) par rapport à t, il viendra donc :
Comparons ces deu.x expressions de — : comme les intégrales sont étendues à la même aire, il faut que
(13, ^ = KAÎ.
La dérivée y est calculée avec les variables de Lagrange,
c'est-à-dire en suivant une molécule dans son mouvement.
Cette équation (13) est analogue à celle qui représente la propagation de la chaleur par conductibilité. Seulement, dans ce dernier problème, on regarde d'ordinaire les molécules comme immobiles. Ici au contraire X, varie comme varierait la température du liquide, s'il possédait le même mouvement,
el que li fût son coefficient de conductibilité; mais il se produirait aussi, dans ces conditions, un transport de chaleur par convection.
154. Extension des théorèmes généraux. — Nous avons démontré fn'"' 65 et suiv., 113 et suiv.) quelques théorèmes applicables aux liquides dans lesquels il ne se produit pas de frottement ; quelques-uns seront encore vrais.
Soit, en effet, un liquide indéfini dans lequel les tubes tourbillonnaires sont des cylindres parallèles à O^-.
Nous avons vu [126] que, en considérant Ç comme la densité d'une matière attirante répandue sur le plan des a;?/, la masse
totale M =r. Kdoi de cette matière fictive est constante (l'intégrale étant étendue à tous les éléments doi du plan des ocy).
La masse ainsi définie est encore constante quand le liquide éprouve des frottements.
En effet, différentions :
par rapport au temps, en remarquant que doi est constant ; il vient :
Je dis que cette intégrale est nulle. Pour le démontrer, appliquons la formule de Green :
