CINQUIÈME PARTIE
La relation masse-luminosité
39. NAINES RICHES EN HYDROGÈNE. FORMATION DE DEUTÉRIUM. — Nous étudions en premier lieu le débit d'énergie des naïnes riches en hydrogène. Pour ces étoiles, nous négligeons la couronne gazeuse, et nous supposons toute la masse à une température uniforme. Le calcul du débit d’énergie se ramène au calcul de
f Arr?p?dr étendu à la région d'hydrogène.
Nous ne possédons pas les tables numériques complètes des configurations à hydrogène, et en conséquence, n’étudions que les étoiles faites d'hydrogène pur. On a, en tenant compte des relations (26) ct (31) :
Le ; farmer = rap f 1° dn, Po
" étant le rayon réduit de l’étoile.
Nous calculons l’intégrale :
Mi p?
Le 2274 \ 0 Po? Le d’où :
(214) L = Amap,?.4,1.10-4, re?
On a porté dans le tableau IX, en fonction de 1 /y,?, les valeurs de la température de l'étoile en millions de degrés, la masse et la luminosité.
TABLEAU X Te T' log M log L 1 /y 0? T log M log Z 0 0 0,741 0,2 3,7 0,471 4,269 0,01 1,3 0,727 6,870 0,3 4,45 0,389 4,471 0,02 1,6 0,687 5,172 0,4 6 0,305 ,055 0,05 1,95 0,637 5,432 0,5 8,3 0,211 3,259 0,1 2% 0,549 5,882 0,6 9,9 1,945 3,351
On voit aisément que pour des naines telles que log M > 0,2, à chaque masse correspondent deux températures, une basse, une élevée. Mais une naïne blanche ne saurait être dégénérée que si sa température est assez basse. Les températures élevées,
solutions de (214), ne correspondent pas à des naïnes blanches : ÿ! ne peut exister de naines blanches faites seulement d'hydrogène pur, de masse inférieure à 1,5 soleils.
40. NAINES PAUVRES EN HYDROGÈNE. — Étudions maintenant le débit d’énergie des naines pauvres en hydrogène, lorsque ce débit d’énergie est dû à la réaction de formation du deuton.
D’après (212), on a :
1,6 (215) 1 4.110456 Mp'astnte(T)
En reportant (169) dans (213), on a (T'en millions de degrés) :
1,6 (213 bis) Ta66 er — [1,05}uènt( Te) :
Dès que X est un peu petit, il n’y a aucune solution possible à l’équation (213 bis) Il doit y avoir égalité entre l’énergie produite et l’énergie dissipée par l'étoile. Pour une configuration donnée, l’énergie produite par l’étoile croît avec la température. L'énergie que les couches extérieures de l’étoile sont susceptibles de laisser passer croît avec la température. Quand X est petit, quelle que soit sa température, l’énergie que l’étoile est susceptible de produire est toujours plus petite que celle qu’elle peut rayonner.
Lorsque ZX croît, il arrive un moment où l’énergie produite peut devenir égale à celle
qui est rayonnée. Mais il y a alors deux solutions pour la température. Cela a-t-il un sens d'étudier l’autre solution (7 grand) ? Nous pouvons tout de suite répondre non, car dès que T croît un peu, les réactions du cycle de Bethe deviennent prépondérantes, et au lieu d’avoir comme dans l’équation (213 bis) une fonction de la température passant par un minimum, on a une fonction monotone décroissante de la température jusqu’à de très grandes valeurs de T (EI milliard de degrés) et, en réalité, l'équation (213 bis) a une solution unique, qui est celle que nous étudions. Nous simplifions en prenant :
(216) re -T — [10,4]75.53 au voisinage de 7 = 6.106 degrés et, en tenant compte de (169), on obtient une relation masse-luminosité approximative :
(217) ; L=f(M)X=2" f.(M) étant une certaine fonction de M, dont nous donnons la table. M est la
masse de l’étoile faite de mélange de Russell seulement. Il faut, pour avoir la courbe L(M), adjoindre à (217) la relation :
(148 bis) M(X) = mi + p() ‘|
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TABLEAU XI log M log f, (M) log M log f, (M) 0,139 — 5,94 — 0,131 — 3,32 0,125 Eee 0,213 Le 0,085 — 4,77 — 0,297 — 2,71 * 0,075 — 4,16 — 0,391 — 2,41
Nous traçons dans le plan log M, log L, les courbes À — Cie. Nous appelons région I la région de production d'énergie par l'hydrogène suivant les réactions (200) et suivantes. Ç |
Il nous importe peu que les fortes luminosités soient inaccessibles aux naines blanches produisant leur énergie suivant les réactions (200) et suivantes, car, dès que X devient petit, les réactions du cycle de Bethe deviennent prépondérantes dans la production d’énergie. |
Al. NAINES PAUVRES EN HYDROGÈNE. CYCLE DE BETHE. PREMIÈRE CONFIGU- RATION. — Étudions done maitenant chacune des trois configurations étudiées aux $$ 28, 29, 30, et correspondant au débit d'énergie suivant le cycle de Bethe,
Étudions d’abord la configuration du $ 28: la couche d'hydrogène est assez épaisse pour que $ (surface de mélange) soit intérieure à Z (surface d'apparition de la dégénérescence). On a, en unités de Soleil :
, nec (218) L = [4,709] EE
Nous prendrons r = À, rayon de l'étoile.
En mettant en évidence la teneur en hydrogène, on a :
21 == N3%1 6/5 (219) L Rs HE y, X85 (TI)!
Nous remplaçons la fonction de M par :
log f (M) = 0,22 + 2,2 log M et la fonction de T' par
(PS 1072078 (T'en millions de degrés) et T lui-même par l'expression (179). Il vient alors : (220) = [— 3,70] MOTAX—0205 (ox )p 071,
La luminosité dépend très peu de la teneur en hydrogène et de la concentration
en azote. Elle dépend peu de la masse M. Elle croît lentement quand la teneur en hydrogène décroît.
__ La relation (220) n’est évidemment valable que lorsque la couche d’hydrogène est assez épaisse pour que l’on puisse négliger la couronne gazeuse. Nous appelons région IT la région correspondant à cette configuration.
49, DEUXIÈME CONFIGURATION. — Étudions maintenant le cas où Set Y sont confondues. =
Évaluons d’abord la teneur en hydrogène de l'étoile. On a : (221) | XM = 4rR? L g(AR)TA, d’où en unités de Soleil :
(222) OX =[T815]R Tru (
La densité 9, qui figure dans (196) est donnée par (199). Toujours en unités de Soleil, on a :
(223) p = [1,488JR—24MI2X06.
Appliquons (222) à des naines connues : 40 Eri B ; Sirius B. On trouve : pour 40 Eri B:. .. log X — —2,73, pour Sirius B: . . . log X — — 4,39.
Pour obtenir une relation masse-luminosité, nous devons éliminer T' entre (197) et (163) en tenant compte de (222). Cette élimination est facilitée, si on pose, dans des buts évidents de simplification :
. mr) E [T97, 7] Ta (T en degrés),
(224) T8 exp (—
qui est valable au voisinage de T = 107 degrés. On obtient :
7 [7,48] CR D (RS eme Nous prenons (cXx)r = [— 2] et l’on a :
Nous donnons les valeurs de la fonction f,(M) dans le tableau XI.
TABLEAU XII lg M logf, (M) log M log f, (M) — 0,657 00 — 0,053 TI — 0,391 — 1248 0,075 — 19,35:
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Nous portons les courbes X — Cte dans le plan log M, log L. La région où (224) est applicable, correspondant à la configuration IT, est appelée région IIL.
43. TROISIÈME CONFIGURATION. SÉPARATION DES RÉGIONS. — Examinons enfin le cas où S est extérieur à Z. Nous nous contenterons d'indiquer une relation de proportionnalité, sans préciser de facteur numérique, car il est un peu trop simple d’utiliser approximation (224), et la relation obtenue ne peut que donner l'allure de Ia relation masse-luminosité, et non pas les valeurs numériques exactes.
On obtient :
(226) Le M—S8RE6X—145
Nous appelons région IV la région correspondant à cette configuration.
Par contre, il est facile de déterminer exactement — dans notre théorie — les courbes qui séparent les régions IT et III d’une part, III et IV d’autre part. L’épaisseur de la couche d'hydrogène est donnée par les relations (186) ou (187), la EEE par la relation (163). On obtient, par exemple à partir de (187) :
M\2/7 M = [7,785] (D pi = [4,822] LM.
On a porté dans le tableau XII les valeurs de log Let T'en FOnGIOn de M, le long des courbes séparant les régions IT et ITI, III et IV.
