INTRODUCTION

La première application de la mécanique statistique de FERMI à la théorie des naines blanches, à été faite par R. H. FowLer en 1926. STONER et ANDERSON ont établi séparément en 1929 la formule reliant la pression à la densité, en tenant compte du changement de masse des électrons avec la vitesse. CHANDRASEKHAR, en différents mémoires parus avant 1939 a mis au point la chimie des naines blanches telle que nous la connaissons actuellement.

Nous allons donner dans cette introduction une vue d'ensemble sur l’état actuel de la théorie des naines blanches, et nous préciserons les points obscurs qui se trouvent éclairés par notre théorie.

I. ÉTUDE DE LA MATIÈRE SUPER-DENSE. — Nous suivons d'assez près l'exposé de CHANDRASEKHAR ({ntroduction to the study of Stellar Structures. Référence dans le texte : S. S. ). La densité moyenne des naines blanches est de l’ordre de 10 et atteint 10%, Les propriétés de la matière à ces densités sont très différentes de celles que noului connaissons sur Terre.

Le phènomène de l’ionisation thermique avait été bien mis en évidence par SAHA. L’ionisation due à la pression à été mise en évidence plus tard par FowLER et a été précisée par l’emploi par FERMI de la méthode des volumes exclus. Aux très fortes densités, l’ionisation est complète, les électrons sont « libres » à la façon des électrons libres des métaux, et on peut décrire en première approximation leur mouvement par une fonction d’onde plane monochromatique.

Dans le calcul statistique de la pression, de l’énergie interne, on tient compte séparément des électrons et des noyaux. On a un mélange d’un gaz d'électrons et d’un gaz de noyaux, ces deux gaz ayant des propriétés très différentes.

Pour des densités de l’ordre de 106 et des températures inférieures à 20.105 degrés, le gaz d'électrons est dégénéré, alors que le gaz de noyaux ne l’est pas. (Rappelons que le facteur de dégénérescence est proportionnel à l’inverse de la masse des particules.) La pression due au gaz de noyaux se calcule alors comme celle du gaz parfait à la même température, ayant le même nombre de particules par unité de volume. Au contraire la pression du gaz d'électrons à T° pour les fortes dégénérescences est pratiquement due à l’agitation résiduelle des électrons au zéro absolu comme on le verra plus loin. Précisons ces résultats ($S. S. chapitre X).

Le nombre d’électrons par centimètre cube est :

(1) Nn=LN He u, —= nombre d’unités de masse par électron libre ; p — densité ; N = nombre d’Avogadro.

Le nombre 91 d’électrons est relié à la quantité de mouvement maximum p, au zéro absolu (gaz d'électrons complètement dégénéré) par ($S. $S. chapitre X\ :

(2) IT — Die

1e constante de Planck.

En posant (Représentation paramétrique) :

Po 3 / = —) ) ; £ mc m — masse de l’électron, c — vitesse de la lumière, il vient :

8rmc?

(4) JTE HET HE 5,87. 1027.

La dégénérescence est supposée relativiste, c’est-à-dire que l’on tient compte pour

les électrons rapides de la variation de masse avec la vitesse (#). La pression P au zéro absolu est alors ($. $.) :

rmAci 2e de (5) P = rs i(æ) = 6,01.10%##(x), avec (6) f(x) = x(2x? — 3) (x? + 1)1/2 + 3 Argt sh x.

Lorsque l’on n’est plus au zéro absolu mais à une température définie par 6 — 1/XT (k, constante de Boltzmann, T température absolue) p, n’est plus la quantité de mouvement maximum et pour les très fortes dégénérescences, le paramètre x est relié à 41 et P par les relations ($S. $. chap. X) :

__ 8rmic® , € 2 Pen 0 | (7) ii Dons x I + (Omc2) er ve EP + 1 | __ rmics 42% x(v2 + 1)12 (8) F—= DETTE f(x) à 1 + CES SEE er |

En première approximation, la relation (4) est valable. Pour : DEL OU" ue — 1 (hydrogène pur),

re NS il (x) — 1,23

on à :

et l’on a :

P = [22,87] (1 = {8,11 Te =):

Les nombres entre crochets sont les logarithmes à base 10 des coefficients. (Cette notation, qui consiste à remplacer un coefficient numérique par son logarithme de base 10 placé entre crochets, sera constamment utilisée.)

On voit que même pour T = 10!, le second terme n’est que la centième partie du terme principal.

Dans les mêmes conditions de densité, la pression due au gaz de noyaux est Mer Fe

R — constante des gaz parfaits, & — masse atomique moyenne du gaz de noyaux.

Ici, avec les valeurs numériques adoptées (hydrogène pur) : P = [18,92JT.

(5) On arrive ainsi à la formule de STONER et ANDERSON (équations (5) et (6)).

De vives critiques ont été adressées par EDDINGToN (colloque des Astrophysiciens, 1939) à la formule de STONER et ANDERSON. EDDINGTON considérait la justification de STONER et ANDERSON, comme celle de CHANDRASEKHAR, comme insuffisantes. CHANDRASEKHAR, au contraire, n'accepte pas l’argumentation d’EppinGron. Nous adopterons tout de même la formule de STONER et ANDERSON, car les résultats qu’en a tirés CHANDRASEKHAR, paraissent mieux s’accorder avec les observations des naines blanches.

THÉORIE DU DÉBIT D'ÉNERGIE DES NAINES BLANCIES ÿ!

Pour 7 = 2.107 degrés, la pression du gaz de noyaux est les deux centièmes de celle du gaz d'électrons. Pour T = 105, elle est les dix centièmes de celle du gaz d'électrons. Dans le cas d’un mélange de RUSSELL ayant le même nombre d'électrons par cmÿ, donc même pression du gaz dégénéré d’électrons, le nombre d’atomes grammes par électron libre est multiplié (formule 1) approximativement par 2, et la masse atomique moyenne du gaz de noyaux (formule 9) est multipliée approximativement par 20. La correction de pression est donc environ 10 fois plus faible, soitrespectivement

deux millièmes et dix millièmes de celle du gaz d’électrons à 2.107 et 108 degrés. En fait, une température telle que 105 degrés n’est pas atteinte dans les naines connues. L'étude de Sirius B, telle qu’elle est faite par CHANDRASEKHAR, avec les données habituellement admises pour la masse, le rayon et la luminosité ($S. $., chap. XI), montre que la dégénérescence apparaît tout à fait au voisinage de la surface de l'étoile à une température de 1,7.107 degrés. Nous retrouvons par notre théorie des températures du même ordre de grandeur. À ces températures, la pression du gaz de noyaux, quelle que soit leur nature, peut être considérée comme négligeable.

Nous utiliserons donc les résultats de CHANDRASEKHAR. Nous définirons plus loin, pour les naïnes blanches, une région de dégénérescence, où l’on ne tient compte que de la pression du gaz d'électrons (au zéro absolu) et une région denon dégénérescence ({). où l’on tient aussi compte de la pression de gaz parfait du gaz de noyaux. Nous discuterons au moment voulu la part d’arbitraire de notre définition de la surface d’apparition de la dégénérescence (3° partie, $ 28).

II. L’OPACITÉ DE LA MATIÈRE STELLAIRE. — L'énergie produite dans les couches intérieures de l’étoile est transmise par rayonnement, par conduction ou par convection. Nous supposerons qu’il n’y a pas de courants de convection ni de phénomènes de turbulence. Supposons que l’étoile ait la symétrie sphérique. Alors le flux d’énergie L(r) à travers une sphère de rayon r est lié au débit d’énergie € par gramme par la relation :

dL(r) dr

(10) = drr°ep.

Si l’on néglige le transfert d'énergie par conductivité, le flux est lié au gradient de pression de radiation par :

(ui) d (gur«) se xL(r)

dr \3 | Ancr? P a = constante de Stephan, c — vitesse de la lumière,

(2) Nous désignerons ultérieurement la région de dégénérescence par D et de non dégénérescence par ND.

8 EVRY SCHATZMAN

— coefficient d’opacité (5). x est le coefficient d'absorption de Pénergie lumineuse. On peut définir avec KorHaARI un coefficient de conductivité par rayonnement :

’ PO ES À 4QC m3 AT es TION ME NE he xp. dr Fa 3xo dr à ar (12) HR = — AR

H,, étant l’énergie radiative transmise par centimètre carré.

On a de même un coefficient de conductivité thermique (transfert d'énergie par diffusion) :

* | ar

(12 bis) He = — àc PS H, étant l’énergie thermique transmise par centimètre carré.

La densité totale de flux d’énergie est :

L(r) dar

(13) ri mn un UNE)

En général, on ne tient pas compte de la conductibilité thermique et on considère la formule (11) comme correcte.

Les valeurs des coefficients Ap, AC ont été étudiées et comparées par KorTHaRi (5) pour des électrons libres en présence de noyaux pour la matière D et ND. CHANDRASEKHAR (7) a calculé )2, ou plutôt x pour la matière D et ND et trouve les mêmes résultats que KoTHARI. Les cas intermédiaires (dégénérescences moyennes) sont inaccessibles par le calcul autre que numérique.

Par ailleurs, les calculs numériques complets du coefficient d'absorption par la matière stellaire non dégénérée, compte tenu de l'ionisation des éléments, ont été faits par STROMGREN (5).

On a montré plusieurs fois (°) que presque toute l’étendue d’une naine blanche est dégénérée. Seule subsiste une frange très mince de matière non dégénérée. Or un résultat très important de la théorie de KoTHARI est que la conductibilité est très grande pour un gaz d'électrons dégénérés. En d’autres termes, la plus grande partie d’une naine blanche est transparente à l’énergie, et sa température est sensiblement uniforme.

Ces résultats ont été confirmés récemment par MARSHAK (1°).

(5) Pour la définition du coefficient d’opacité, voir :

EppinGTox, 1. C.S.

CHANDRASEKHAR, Stellar Structures.

Handbuch der Astrophysik, 8.

(6) Kormarr, M. N., 98, p. 61 (1932). — Phil. Mag, 18, 361 (1932). (7) CHANDRASEKHAR, Proc. Roy. Soc., À. 188, 241 (1931).

(8) STRÔMGREN, Zeits. f. Ap., 4, 118 (1932).

(?) Voir par exemple : CHANDRASEKHAR S$. S.

Handbuch der Astrophysik, T. B. STRÔMGREN.

(19) MaRsHAK, Ap. J., 92, 321 (1940).

Nous utiliserons les résultats indiqués ici et les appliquerons au calcul détaillé de la température des naines blanches.

III. L’ÉTAT ACTUEL DE LA THÉORIE DES NAINES BLANCHES. — Contrairement à la théorie que nous développons plus loin l'étoile est supposée chimiquement homogèue. Autrement dit, l’ionisation étant supposée totale dans toute l’étoile, la masse atomique par électron libre u, est supposée constante à travers toute l’étoile. On peut considérer comme une réalité physique l’existence d’une région ND de faible étendue (11). Il est donc légitime, en première approximation, d'étudier l’étoile comme si elle était au zéro absolu, et la matière qui la constitue entièrement dégénérée.

L’équation d'équilibre

dP (14) | fe à laquelle il faut adjoindre z GM (6) go 0

P = pression totale,

g = intensité du champ de la pesanteur,

Mi(r) — masse comprise à l’intérieur de la sphère de rayon r, G = constante de gravitation,

se réduit à : :

L dPa Lo dr nom

k HE l a ; car la pression de radiation pr — zaT* est nulle (ou négligeable). La pression du gaz se réduit à la pression du gaz dégénéré d'électrons, et cette pression est liée à la densité par les relations :

pN 8rm°c?

(1) (4) Ù - I — Le = aps 2 mic5 (5) P = -i(a), (6) f(x) = x (2x2 — 3) (x? + 1)12 + 3 Argt sh x.

Voyons de quelle façon on obtient la configuration de l'étoile. Nous suivons les

(4) Nous avons donné plus haut des indications sur ce fait. Nous avons indiqué (référence 9) où on peut trouver cette démonstration. Rappelons que Sirius B, ou compagnon de Sirius, a eu son existence déduite en 1844 par BesseL de la forme sinusoïdale de la trajectoire de $irius dans le ciel, et n’a été vu pour la première fois qu’en 1861. L'étude de son spectre pour la première fois en 1915 par ADAMS, conduit à admettre un très petit rayon pour Sirius B.

10 EVRY SCHATZMAN

calculs de CHANDRASEKHAR. Nous les exposons en détail, car leur détail même nous servira. On pose :

(17) p = Br!, avec :

4,5 8 4,5 (18) A TE — 6,01.10%, B— nn — 9,82.105 pe.

L’équation d'équilibre (14) différentiée, compte tenu de (15), donne :

1Xdr 2e % (19) AE T — — 4rGp, ou :

ABLE dre TE) ee 3 Lu Bal de) éBe on | dif) va 8x4 dx de dr EDG Ecdf(æ)r 8x dns dVaæ? +1

(ée) a dr (a? +1}2dr ; dr, L’équation (20) peut être réécrite ainsi :

1 d / ;dva? +1 r GB. 3