C2 HR
si bien que s; /S, change avec psuivant la loi: :
(44) 81/82 © exp [(m —m;)p/KT].
Si M1 > M, 81/82 décroît quand on s'élève. Les atomes légers prédominent en haut.
Dans la matière ionisée, les électrons sont beaucoup plus légers que les ions et tendent à s’élever. Mais cette séparation est stoppée dès son début par la formation d’un champ électrostatique intense. Nous le montrerons dans le cas où l’on peut assimiler le gaz d'électrons à un gaz parfait. Alors les formules (42), (43), (44) sont applicables. |
Soit le potentiel du champ électrique qui empêche la séparation, m, — e la masse
(45) Voir EppiNGTon, 1. C. S. première édition, p. 272. Nous reproduisons presque sans changement, dans ce paragraphe, les calculs d’EDDINGTON.
16 EVRY SCHATZMAN
et la charge de l’électron, m,, Ze la masse et la charge de lion. Alors les énergies potentielles sont (15) :
— mp —e\, — mp + ZieŸ.
D’après (43) les densités varient proportionnellement à : exp [(mp + ev)/KT], exp [(mip — ZeŸ)JETT
Le quotient de ces densités doit rester sensiblement constant, puisqu'il ne se produit qu’une très faible séparation des charges. On doit donc avoir : mp a e RIOUEE Ze, d’où :
PORTES are.
D'autre part, le potentiel o est lié à la densité p, et le potentiel 4 à la charge o par les relations de Poisson :
(46) : Ao = — Aro, \ (47) A = — Aro, d’où l’on tire :
RARE PEL mes ler GE) FN CES DA)
Évaluons numériquement (48). La charge par gramme est de 5.102? w. e. s par gramme, soit environ un défaut de un électron par million de tonnes de matière Notre hypothèse qu’il n’y à pas de séparation appréciable des charges est ainsi vérifiée.
Dans le cas du gaz dégénéré d’électrons, un calcul similaire indique que Fexposant 22 de l'évaluation numérique ci-dessus doit être remplacé par un exposant plus faible de quelques unités, et d’ailleurs variable à travers l'étoile. L'hypothèse qu’il n’y a pas de séparation appréciable des charges est encore vérifiée.
2. — Dans l’étude d’un gaz aux atomes complètement ionisés, en équilibre isotherme, nous tiendrons compte de l’action des forces-électrostatiques, en écrivant simplement que la neutralité électrique est une des conditions de l’équilibre (17). Cette action des forces électrostatiques détermine la forme du résultat : les atomes dont la masse est grande par rapport à la charge vont aller dans le sens du champ de pesanteur. De deux corps de même masse atomique, celui dont le numéro atomique est le plus grand prédomine en haut. Lorsque l’équilibre est réalisé, la concentration des
éléments lourds va en croissant vers le bas, et celle des éléments légers en croissant vers le haut.
(5) Les conventions de signe sont opposées pour les potentiels électrique et de gravitation.
(17) Cette façon de procéder n’est rigoureuse que si on suppose les électrons former un gaz complètement dégénéré.
Nous allons développer maintenant les calculs qui établissent ces premiers résultats.
3. RÉPARTITION LA PLUS PROBABLE. — Les méthodes de la mécanique statistique sont particulièrement adaptées à ce calcul. Ç
Soit un champ de pesanteur d’intensité g(z) (phénomène à une dimension), dans lequel est placé un récipient clos. Ce récipient contient N, atomes d’espèce 7, de masse m, et de charge Z. Les conditions de température T' et de densité p sont telles que les atomes sont complètement ionisés. Nous étudions le mélange de gaz de noyaux. La dégénérescence n’apparaît dans le gaz de noyaux que pour des concentrations beaucoup plus élevées que dans le gaz d’électrons. Dans les conditions que nous étudions, le gaz de noyaux ne constitue jamais un gaz dégénéré. Nous pourrons, pour le décrire, te emploi des méthodes dites de statistique classique.
Nous cherchons la répartition la plus probable.
Soit p la quantité de mouvement que possède un noyau d’espèce quelconque. Nous désignerons par »;,, le nombre de noyaux d’espèce ? placés au voisinage de la cote z, dans un petit volume dV, et possédant la quantité de mouvement p. Leur énergie est :
(49) Exp = Wa + GE
L'énergie potentielle W,, est :
(50) Win = — Mipr, , étant le potentiel de gravitation à la cote z,.. Dans le cas RRQ où le champ de pesanteur est uniforme :
(51) Pr = — 2x; en prenant une origine quelconque pour les cotes.
Nous désignerons par 9,,, le nombre des états possibles qui permettent à un atome d'espèce 2 placé à la cote z, d’avoir la quantité de mouvement ».
Nous désignerons par n,, le nombre de noyaux d’espèce dans le volume ÔV, ; par 9, le nombre d’électrons dans le volume 5V,. Le nombre de complexions X, pour les noyaux d’espèce 1 dans le volume SV, est alors :
ni !| (52) Xx s Inix kp gun)".
Le nombre de complexions pour l’ensemble des noyaux d’espèce quelconque dans le volume 5, est le produit des ue x
(53) x. - IL
pk».
Tr RE — (Jin)
Les nombres tp obéissent aux trois conditions : I. Condition relative au nombre de particules : (54) DE = Nix.
Thèses SCHATZMAN 2
18 EVRY SCHATZMAN
IT. Condition relative aux charges :
(55) : 2 Zip = I.
ip
[IL Condition relative aux énergies :
(56) D Eikplikp — Ek.
ip Pour exprimer que log X, est maximum, compte tenu des conditions I, IT, III, nous utilisons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Il vient : (57) dflog Xx — \nir — MO — 0e] = 0.
Les paramètres N,, À,, 0, sont déterminés par les trois conditions I, IT, III.
En supposant, comme on le fait d'habitude, les n.,, très grands, on peut représenter les factorielles par l’approximation de Stirling. On à :
(58) dE nx log ni — Nip 108 Nixy + Nixp 10 Gin — Ni Nip — Miiry — Exp = 0 ikp
et finalement :
(59) Nip = Yikp EXP [— Ai — Ai — rex, |.
Évaluons g,,,. Une particule d'espèce à à une multiplicité d'états égale à 25, + 1, . 8, étant le spin de la particule. Donc : AS
(60) Jikp = (25: + 1) BRENT
- est le nombre de cellules d’extension en phase correspondant à une quantité de mouvement p des atomes d’espèce :. En intégrant par rapport à p, (59) devient :
à 3/2 (61) Mir — (25: + 1)9Vz () exp [-— À'i — Zi = CG Wal.
Il faut joindre aux trois conditions I, II, IIT, une quatrième :
IV. Condition relative au nombre total de particules d’espèce 2 :
(62) Zn —= Ni.
Pour passer au continu, nous nous souviendrons que : dx = AU&)DVe, Nix = Nix)ÔVe.
Il vient alors :
LL /Opmi\ 2 | (63) Z 228: 1) (Fe) Exp [— Xi — AZ: — GW] = A),
k étant la hauteur du récipient :
h .\ 3/2 (64) ve (25: ae 1) (Re exp [= À Si AZ STE 0% Wa] d Ve = N:. Posons :
h /1\3/2 (65) 2 (5 exp [— À'eZi Ex Ok Wa] dVx — K:.
Il vient en tirant exp (— \',) de (64) :
Cette relation nous détermine la variation de A(2,) en fonction de z,. Il faut pour cela connaître 0(z,). Nous savons que 0, = 1/4T, k étant la constante de Boltzman (1°), T, la température absolue dans le volume 3. 2
En faisant tomber l’indice k et en le remplaçant par l'indication de la variation avec 2 la répartition des atomes d’espèce : est donnée par :
N;:/1\32 (67) nie) = — (5) exp [— À(2)Z; — 0W(2)].
K;\0 4, ÉQUATION D'ÉQUILIBRE HYDROSTATIQUE. — La masse contenue dans 1 centimètre cube est :
p = Emini.
(68) D Em Re (ET) exp [— ÀA(2)Z: — Om: p(2)].
L’équation d'équilibre hydrostatique du gaz est :
P = pression totale,
La pression est une fonction connue de la température, du nombre n, de noyaux, et du nombre 3 d’électrons. Les relations (65), (66) et (69) déterminent complètement l'équilibre du gaz sous l’influence de la pesanteur si on connaît la loi de variation de T.
5. — Nous allons étudier maintenant, sur quelques exemples, le groupe d’équations (65), (66), (67).
Tout d’abord, nous supposons la température uniforme, et l'intensité du champ de pesanteur constante dans tout le récipient. Alors :
YU Wi — migz.
(48) On trouve la démonstration par exemple dans Mécanique statistique quantique, par F. PERRIN. Il n’y a aucune confusion possible entre l’indice Æ et la constante de BOLTZMANN.
20 EVRY SCHATZMAN Désignons par À, la masse d’un atome gramme de noyaux. L’équation (66) peut
s’écrire :
N; À; 2 (71) > Z; ral LU (22:90) | AxZi — ar | IC
& étant la constante des gaz parfaits. Supposons, en outre, 91 constant dans tout le récipient (cette hypothèse sera conservée jusqu’au paragraphe 15). Posons :
exp [— A()] = 4,
Ve Eee el aa on à alors :
N; ae (73) DZ (CT)R Pin = 97, (74) re e (RT)2ZiuAi, k (75) K:; = (ET 2 EiuAidz,
en supposant le récipient cylindrique de section unité.
6. MÉLANGE DE DEUX ESPÈCES ATOMIQUES AYANT MÊME MASSE PAR UNITÉ DE CHARGE. — Nous allons étudier les équations (73), (74), (75) en faisant quelques hypothèses sur A, Z, et N.
Remarquons en premier lieu que si le quotient A, Zi est constant, quelle que soit l'espèce atomique considérée, en posant :
(76) Puñt = 9,
Le N,
il vient : 22; (ET) Pot = 9U(2) avec tj = À;/A;
l'équation (73) devient une équation en v, et fournit une valeur constante pour v. On a alors », constant dans tout le récipient : il y à une répartition uniforme de matière dans le récipient.
Supposons un mélange d’hélium et d'oxygène, pour lesquels A./Z. est égal à 2 (en première approximation). Remplaçons en un point un atome d’oxygène par quatre d’hélium : l’équilibre électrique est respecté, et l’énergie potentielle dans le champ de pesanteur est le même : on peut done concevoir que l’existence d’une répartition non uniforme de densité est liée au fait que le quotient A,/Z, n’est pas le même pour toutes les espèces chimiques.
7. MÉLANGE DE DEUX ISOTOPES. — Examinons maintenant le cas d’un mélange de deux isotopes. La charge Z; est la même, mais la masse atomique A, différente.
THÉORIE DU DÉBIT D'ÉNERGIE DES NAINES BLANCHES a] |
Nous supprimons pour la charge l’indice, et l’appelons Z. L’équation (66) devient alors :
: 3/2 (77) LEE (3) her d’où N:
Eu Ai ° 22 puis
K,, est défini par la relation (65). Soit donc k la hauteur du récipient. Pour calculer la somme (65) nous faisons un changement de variables, et prenons # comme variable. D’après (72) il vient :
&T du dr = —— —; g l'équation (65) devient :
) Le nn a Te î Ai : z=0 2x,"
Pour calculer (79) nous faisons un nouveau changement de variable. Posons :
æ — UT Ai d’où : se — (A, — À D %.
Alors :
IURT z=h dx 80 FRA RC RRAERE Lee MARS (80) 1 RE f. 21e +) RE) ee Ke ee NE À; — À; PRES œ ne de 1 à a = exp | gh |: Il vient :
NRT. K x :
QE ee À VEN RP nn Qi a “oi | RD | "ER EN, Lt A
On voit que l’on n’obtient pas K,, mais une relation entre K, et K,, ce aui est assez normal, puisque K, et K, interviennent symétriquement. La concentration ©; en atomes d’espèce 1 (rapport du nombre d’atomes d’espèce 1 au nombre total) est : | N,Z
OC = —— ET HoTh
En posant (N. /K;)/(N; /K;) = rx, la relation (81) donne :
(82) L'ANPE RUES a(l + x)
29 EVRY SCHATZMAN
La relation (78), qui donne la répartition en hauteur des différentes espèces d’atomes, peut s’écrire, en faisant intervenir les grandeurs x et w déjà définies : av 1 AN ruñA:
(5) e = FA il + ruüÂ:— A1 Na = TA l e ru As
r est donc le paramètre qui détermine la forme de la solution et x est lui-même déterminé d’après la relation (82) par la concentration, l’intensité g du champ de pesanteur, la hauteur À du récipient, et la température T à laquelle il se trouve, ces trois dernières grandeurs intervenant par l'intermédiaire de a.
Cherchons à obtenir une expression réduite. On a :
(84) uAs Ai — qui,
Posons 2/h — Ë, Ë varie de 0 à 1, et les concentrations y., y, à la cote & sont :
; PR CRE ra ne ST nn nee
Il suffit d'étudier les formules (83 bis) sur un exemple. Prenons € — 0,001. a et x sont donnés par le tableau I.
Les courbes représentatives de y,, pour différentes valeurs de a et x, ont été portées sur la figure 2. a est d'autant plus petit que g/T' est plus grand. Et l’on voit que
FrG. 2. — Concentration en fonction de la cote.
la séparation est d’autant mieux faite que a est plus petit, donc g/T plus grand. Plus le champ de pesanteur est intense, et la température basse, mieux les deux espèces atomiques sont séparées.
TABLEAU II a T 1 0,001 1071 0,00256 10710 0,0233 10-100 0,2588 101000 0,9
8. HAUTEUR DE MÉLANGE. — Nous allons définir maintenant une grandeur caractérisant l’état de séparation des deux gaz. Cette grandeur n’a de signification physique simple que lorsque la séparation est importante.
Le produit y,Yy. passe par un maximum pour une valeur donnée de z. Il est supérieur à la moitié de cette valeur entre deux cotes z,, . L’intervalle Az = |z, — 2,] caractérise l’état de séparation des deux espèces atomiques. On remarquera que cette grandeur n’a de sens que si elle est inférieure à la hauteur du récipient.
On a :
à TX
(85) RÉ remet Ce produit passe par un maximum pour æ = 1/x et alors cc; = 1 /4. La moitié de cette valeur, soit 1/8, est atteinte pour :
(86) rx = 3 + 2V2.
On en tire la différence des cotes Az représentant la hauteur du mélange : | RT Ag = ———— og (17 + 12V2), f (As — A:)g e \ É ou encore :
