i . 6 . 8 ' 2 . i\ 1 — sia. X' sin. y> J
Les intégrales précédentes devraient être prises
entre les limites ^ et H — si le solénoïde
sphérique s’étendait de l’un des pôles à 1 autre. De plus elles seraient faciles à calculer, car elles sont toutes de l’une des formes :
lesquelles, après le développement de
(1 — sin. y sin. n)
d après la formule du bioôme, sont comprises dans la forme unique :
Or, suivant que n est pair ou impair, la valeur de l’intégrale
ft
est égale à ;
tr
TT
OU nulle. De plus on a :
pour n pair.
it
pour n impair.
Mpis U est fiacile de reconnaître immédiatement que l’action du magnétisme terrestre sur l’aiguille aimantée ne peut être assimilée à celle d’un solénoïde sphérique ; car au pôle magnétique on a cos. X' = 0, et par conséquent :
A l’équateur, ces mêmes composantes ont pour valeur :
— ailles deux valeurs de Z, sont de même signe. Par conséquent l’aiguille, dans les deux positions, serait parallèle à elle-même et dirigée dans le même sens, tandis que l’expérience prouve qu’elle se retourne de 1 80“* Le résultat serait encore le même, si le solénoïde se réduisait à un seul courant situé à la surface de la terre, dans le plan de l’équateur magnétique. Car, pour la valeur de X, on voit, par la première des formules (43), quelle est nulle à l’équateur et au pôle : on a qr = O dans le premier cas, Qip - o dans le second. Quant à celle de Z, elle conserve le même signe dans les deux positions : elle a pour expression au pôle :
2 it /» /i’ V fl
et à l’équateur :
ces deux expressions sont négatives.
Les choses se passent tout autrement, si on suppose que la longueur du solénoïde et son rayon p sont
petits par rapport au rayon de la terre. Et d’abord remarquons que cette supposition n’a rien que de conforme à notre hypothèse fondamentale sur l’origine du magnétisme terrestre. Déjà noug avons reconnu qu’on ne peut assimiler à un solénoïde, l’ensemble des courants qui circulent dans la croûte terrestre, qu’aux environs de l’équateur magnétique , vu l’obliquité des courants dans les régions polaires. De plus la vitesse de translation de la terre étant 66 fois environ plus grande que la vitesse de rotation de chacun de ses points à l’équateur, il n’y a rien que de très-naturel à admettre que les courants pénètrent à une assez grande profondeur dans l’intérieur de la terre , le noyau n’étant pas complètement dépourvu de conductibilité. Dans cette manière de voir, le carré de la distance du
du pôle de l’aiguille au centre de chacun des cercles du solénoïde, sera sensiblement égal au carré de la distance de ce pôle au centre de la terre, c’est-à-dire à De plus les courants circulant à une certaine profondeur, nous regarderons la valeur de p comme sensiblement indépendante de la latitude X'. Puis négligeant
dans les expressions de X, et Z, les puissances de —
supérieures à la troisième, et, après avoir remplacé q
par — \/r^ — p‘ dans la première, intégrant entre les limites — (/' r sin. X') et (l' — r sin. X'), (2 l’ désignant la longueur du solénoïde), nous obtiendrons :
%n fj.p p^\/r‘ — Z f dq
Zn P p'‘ P \/r — p’
ÏT»
27rpp’//3 p’(i? <i?\
2 rr /U />’/' / 3 p^
OU bien :
^ 6n P p"^ l’ sin. A' cos. A'
y 2 Tt P p'‘ l' Z cos.^ A' — 2 ‘ 6 '
Soit AE (voyez page 49) la direction de la résultante, AH celle de l'horizon, 1 l’angle HAE, c’est-à dire l’inclinaison de l’aiguille au-dessous de l’horizon. Nous aurons :
Ung. E.\X ^
Zi 3 cos.'- A' — 2 cos.-' A' — 2 sic.’ A'
X, Z siu. A' cos. A' 3 sin. A' coa. A'
lang EAU Ig. (IlAK -KAX'
Ig. ( 9 qo - V) - Ig. (RAX)
I + Ig. (0 H" A') ig. (EAX'
C’est-à-dire que la tangente de l’inclinaison est égale à deux fois la tangente de la latitude comptée à partir de l’équateur magnétique (*). Cette loi
(*) Ed poursaivant mes recherches sur la théorie mathématique de l’eleclricilé et du magnétisme, je viens, au moment de livrer mon travail h l’impression, de lire dans un Mémoire de Savary sur l'application du calcul aux phénomènes électro-dyamiques, le passage suivant que j’ai ignoré jusqu’à présent et que je m’empresse de citer :
• Ou peut déduire des formules précédentes (du Mémoire) la loi
• par laquelle MM. Biot et Bowdilch ont représenté l’inclinaison de
• l’aiguille aimantée à'Ia surface du globe ; mais, pour pouvoir les
> appliquer à ce cas, il faut supposer qu’on peut se borner à consi-
> dérer l’action des courants terrestres, situés à des distances de
• son centre assez petites pour qu’on puisse négliger dans le calcul « les puissances supérieures de leurs rayons et des distances de
• leurs centres à celui de la terre, supposition qu’on ne doit consi-
• dérer, tout au plus, que comme une approximation plus ou moins
• éloignée de ce qui se passe réellement dans l’intérieur de notre
• globe,
• Soient AB le cylindre fixe dont ’ on suppose que l'action rem- » pjacc celle de la terre, ab le cy- 0 lindre mobile autour de son ceo-
• tre c qui représente l’aiguille , d’inclinaison et que nous suppo-
• sons situé dans le même plan
• que AB ; nomnjons /, >'lcsdemi-
trouvée pour la première fois pàr Biot dans l'hypotbése de deux pôles placés près du centre de la terre, est
• longueurs AC, ac; r la distance Ce; r', r", r'i, les distances
• Aa, A6, Bu, B6; x,y, les coordonnées CH, Hc; p la perpendi-
• culaire abaissée du point C sur ab ; enCo y l’angle aDC, ce qui
TT
donne
— -/pour l’angle que forment les axes des deuxcylin-
• dres. La somme des moments qui tendent à faire tonrner l’aiguille > a6 aotonr do centre c, est évidemment :
;'[((p+icos.y)(^3+^^)-(p - i CO».
» Or, on pent regarder les distances r,', r,”, r', r", comme for-
• mées de la distance r éprouvant, par le déplacement des points cet
• C vers les points o, b et A, B, des variations auxquelles on pourra
• appliquer les règles do calcul différentiel,' h cause qne les lon-
> goeurs ab, AB, des deux cylindres sont supposées très-petites ; de
> plus, comme le point c est le milien de ab les variations relatives
• an déplacement du point c vers a ou 6 seront égales et de signes
> contraires. Je les représenterai par Sr et — !r, et comme le
> point C est aussi le milieu de AB, je nommerai à,r et — Ar, les « variations relatives au déplacement do point C vers A ou B ; alors :
\ \ 3 (a r + 5r) 1 1 3 (A r Jr)
7^ “ “r* 7 *' 9 TTJ — TT ' ;;n: ^
\ 1 3 (Ar — Jr) 1 15 (Ar + br)
• ce qui réduit l’expression de la somme des moments à :
, , , / 3 BAr i cos. y
*' + — ;rr-
assez bien justiOée par l’expérience. Cependant l’impossibilité de l’admettre d’une manière absolue, a déterminé bon nombre de physiciens à rejeter l’hypothèse de Biot sur l’origine du magnétisme terrestre. 11 est inutile de faire observer qu’elle ne peut faire naître les mêmes objections contre la précédente ; car pour nous, elle n’est qu’une loi approximative. Par exemple, que l’équateur ne soit pas un grand cercle, mais une ligne quelque peu sinueuse, rien de surprenant, si l’on réfléchit au défaut d’homogénéité de la terre.
• Mais, lorsqu’on regarde l’aclion de la terre snr raiguille ab
• comme représentée par celle dn cylindre électro-magnétique dont > l’axe est ÂB, l’équateur magnétique est nécessairement considéré
• comme une courbe plane, dont le plan perpendiculaire à AB ren-
• contre celui de la figure dans la droite CD ; l’angle DCe est la lati-
• tnde relative k cet équateur ; je la nommerai / et je désignerai par» » l’inclinaison de l’aignille nb snr le plan de l’horizon qni est per-
