CL
ou ; p- = r’ sin."(ÿ^ -j- A) -1 — — *f b) (14)
les nouvelles constantes, g et h, étant liées aux premières par les relations :
^ g = fl (15)
La valeur de/s% tirée de l’équation (14), et portée dans la première des équations (13'), permet ensuite d’obtenir la valeur de <f en fonction du temps. Il vient :
y + d = + aro tang f tang. {gt + h)
À l’équation 14 on peut substituer la suivante : z'> co8.=(ÿ^ + h) (17)
et considérer le système des équations (16) et (17).
La première des équations (8) nous donnera ensuite, pour expression de, la pression normale :
b — 2aw-|-Qr = 0
.ou : Q = —rg^ (18)
Il nous reste à déterminer les constantes. Pour cela supposons connues la position initiale et la vitesse initiale du point dont nous étudions le mouvement relatif. Soit z'o la valeur de z' au • commencement du mouvement. Nous tirons de l’équation (17) :
z' = ±V^ r- cos.(gt -f h)
d où : Zo = +y/ i (19)
el par conséquent :
cos.igt -4- h)
° cos. h (20)
Celte expression nous montre que la valeur de z'
varie entre les limites extremes r et —
cos. « cos. h
pour lesquelles on a ~ = 0 et qui correspondent aux époques :
gt h 0, gt h ^ 7t . , . .
soit — fo la valeur de qui correspond à la première de ces époques. Nous aurons, en vertu de l’équation (16) :
par conséquent :
? + Po =
60 /or
— (ff t+A)+arc lang. ( - g \ a
lang.(jl+A)^
Dans cette formule, la valeur de y est comptée à partir du méridien qui passe par le point (æ'„, y'„, z'„). Exprimons qu’à l’époque t = 0 les valeurs de
/ dx'\ / dy'\ ^ dz'\
doivent être égales à
celles que fournissent les équations (6). Nous déduirons de l’équation (20) :
a'o ÿ sin. h cos. h
— Rv sin. i cos. u
ou
tang. h ~
Ra sin. i cos. u 9-'o ~
puis de l’équation (22) :
= = CÜ -+-
dt a
r* siu.î fÿ/ -f A) -f cos.= {(jt -f h] 9 ^
ou en vertu deTéquation (14) :
D’ailleurs les équations (6) nous donnent :
Rt) ( , .
.» = w + — 5 I (sm. 0 sin. u + cos. i cos. e cos. u) x'„
+ (cos. 0 sin. u — cos. i sin. 9 cos. u) y'„ |
De la comparaison de ces deux valeurs de résulte la nouvelle relation :
O = — Itv I (siii. 9 sin. « + cos. i cos. 9 cos. ii)
+ (cos. 9 siii. U — cos. « siii. 9 cos. ii) | (2t;.
qui jointe aux précédentes (19) et (93) suffît pour déterminer les constantes a, g, h. Les relations (15) donneront ensuite b et c. Dans cette relation (24), le second membre change très-souvent de signe avec u ; car on a e 3G6, 256419 u, et par suite un léger accroissement de u peut faire varier ô de n, ce qui fait changer le signe de tous les termes. 11 faudra toujours prendre a positivement.
Si nous éliminons h entre les équations (19) et (23), et si dans le résultat nous remplaçons a par sa valeur, nous obtiendrons pour celle de g :
(r- — z'^) =: sin.^ i cos.' «
+ — — ! (sin. 9 sin. u + cos. i cos. 9 cos. u) x'o
+ (cos. 9 sin. u — cos. i sin. 9 cos. n) y'„ | (25).
De toutes ces formules nous allons tirer plusieurs conséquences :
1" Donnons à la quantité variable (gt + A)r différentes valeurs, telles que :
les formules (20) et (22) nous donneront, pour z' et pour (f -f (po) les valeurs correspondantes :
cos. A ’
cos. A ’
cos. A
ce qui nous montre : que chaque molécule du fluide élhéré peut être considérée comme décrivant à la surface de la terre un grand cercle qui n'est pas fixe, mais qui se déplace continuellenient de l’est à
l’ouest avec une vitesse angulaire égale à -. De là
l’explication du déplacement de l’équateur magnétique dans le sens indiqué par l’observation.
Quant à la valeur de cette vitesse -, si nous dési-
gnons par l la latitude du point (x'„,y'„,z'„), et si, pour plus de simplicité, nous supposons que la valeur de x'„ soit nulle ou, ce qui est la même chose, que le point par lequel la molécule du fluide éthéré s’introduit dans la croûte terrestre, soit situé dans le plan des y' z', ce qui ne peut altérer la nature de la trajectoire, nous aurons \ z\ — r sin. l, y'„ — r cos. l, et par suite :
y’ sin.!» t cos.» a r’ cos.'^ l
cos. 8 sia. a — cos. t sin. 8 cos.
et :
U ru cos. l
9 6t> \,^siD.»icos.»M+cos.»/(cos.Ssin.u— cos.isin.ôcos.u)»
Cette valeur est d’autant plus petite, toutes choses égales d’ailleurs, que la latitude l est plus grande, c’est-à-dire que le point (ar'„, y'„, z'„) est plus rapproché des pôles. A la limite, pour / = 90®, elle devient égale à zéro.
Pour U = 90®, c’est-à-dire à l’époque du solstice d’été, on a :
CJ >*&> 1
g Ry cos. 6
cette valeur est indépendante de l.
Afin de pouvoir comparer la théorie avec l’expérience, examinons en particulier le cas où la valeur de l est nulle c’est-à-dire le cas où la molécule s’introduit par un des points de l’équateur. En même temps nous
ferons : soit “ — soit u — n, Aq manière à obtenir
pour - des valeurs aussi différentes que possible.
Pour l =■- 0 et U =r - , nous aurons
ru 1
g Ra \/
Or -r-
et par conséquent
ru 366 , 256419
Rü
Quant à la valeur de cos.^e, nous avons ici
e = 366,256419 et par suite
C 08 . e = cos.^ 366,256419
= — cos. ^0,256419 = — cos. (23® 4' 39", 75).
D’où :
~f~~ 23983 \/cos,^ (23"'F^)",~757
et — . 2r - 2;r. 0,01660 ^ 5® 58' 33 ', 6.
Pour avoir le temps pendant lequel s’effectue ce déplacement, ou le temps pendant lequel la molécule accomplit sa révolution autour de la terre, posons :
gt h ou t —
Stt — h
or, de la relation (23) nous tirons : Rü sin. i cos. u
sin A
cos. h
cos. h gz'o
\/ g^ z'o^ + sin. '* J cos. - u
D’où :
cog. 4 ~ V9^ -f R» ü» sin.’ i cos.“ u
et par conséquent :
sin. h
Rv sin. i cos. u
\/g‘ z'„- -}- R’ v~ sin.' /cos.' u
Dans cette formijlé, la valeur de c6s. u est négative, et, par conséquent, celle de sin. h est positive. Pour
z'o — 0, on en conclut sin. A = 1 ou Déplus,
le jour sidéral étant pris pour unité, nous aurons :
u ^ - 2 TT, cl par suite : q ~
Donc :
Tel est le temps pendant lequel les nœuds de l'orbite se déplacent, de l’est à l’ouest, de 5“ 58' 33", 6 sur l’équateur terrestre.
Pour / = 0, tt — ff, un calcul analogue donne :
Dans l’un et l’autre cas, on obtient, pour l’intervalle d’un jour, un déplacement des nœuds sensiblement le
même et égal à 2 n- — .
Ce déplacement est de beaucoup supérieur à celui que donne l’observation ; mais il n’a pas lieu de nous surprendre. Nous avons supposé la résistance tangentielle nulle ; or, en nous rappelant, ainsi que nous l’avons reconnu ailleurs, que, dans un conducteur homogène, la vitesse du fluide n'est pas constante, mais varie en raison inverse de la distance, nous remarquerons, d’une part, que l’intervalle de temps 0i,01365 (moyenne des deux intervalles 0>,01245 et Oi,l 485) est de beau-
coup trop court; d’autre part, que l’espace angulaire
parcouru pen-
dant ce temps est trop long, pnisqu’au lieu de varier proportionnellement à ce temps, il ne doit varier que proportionnellement à sa racine carrée, deux causes qui s’ajoutent pour rendre trop fort le rapport
— <2 Soient s et «' deux arcs dé- 0,01365 3
crits à partir de l’origine du temps, l’un, pai' la molécule de fluide sur la sphère terrestre, dont nous supposons ici le rayon égal à l’unité, l’autre, par chacun des nœuds de son orbite sur l’équateur ; soient de plus K et K' deux quantités proportionnelles aux conductibilités de la croûte terrestre dans le sens des deux déplacements. Nous aurons les relations :
d$ 2tt K d«' 2 7r.0,0182 ^
It 0,01368 ■ T , dt’ ~ 0,0i36B *'
ou
îl
Faisons « = 2 w dans la première, et t' = 0301365 dans la seconde, nous concluerons :
ce qui nous montre que les conductibilités K et K' di-
minuanl, la vitesse angulaire --
diminue aussi très-
vite, et peut parfaitement devenir égale à celle que donne l’expérience.
Pour fixer les idées supposons K'=K. D’après les calculs de Biot et de M. Duperrey fondés sur l’observation, le noeud oriental de l'équateur magnétique moyen aurait eu pour longitude 64“ 26' vers 1780 et 11“ 40 vers 1830, ce qui fait un déplacement de 1“ environ par année (on ne peut compter sur une très-grande précision aujourd’hui , vu l’insuffisance des observations faites jusqu’à présent). En adoptant ce nombre, nous conclurons :
Portant ensuite cette valeur dans la formule (31), nous obtiendrons :
ou
Et par suite, en vertu de la première des formules (30), dans laquelle nous ferons ÿ=2;r.
ou t — 162j, 8
Ce temps représente la durée de la révolutiw» entière d’une molécule d’éther autour de la terre. Il ne peut être qu’inférieur à celui de là réalité, tant parce que la croûte terrestre est loin d’ètre homogène, que parce que la valeur de 1“ admise plus haut pour le déplacement annuel des nœuds de l’équateur magnétique parait être trop forte. 11 nous montre donc que la vitesse du fluide, d’abord très-grande, décroit très-vite de manière à être presque nulle après une révolution.
2" Pour apprécier la valeur de l’écartement maximuni ^ compté à partir de l’équateur, observons que la formule (29) nous donne :
cos. h
R*w ' sin.2 i cos; ' u
OU, par la substitution de / sin. < à la place de z^‘ ot de la valeur de g tirée de la formule (16) à la place de cette quantité.
z\ j^sin.^icos.'‘m-sin.''tcos.''/{cos.9siii.M-cos.«sin.5cos.iOcos .A ^ sin.^icos.’«+cos.'‘/(cos.5sin.tt— cos.isin.flcos.H)'^
Sous celle forme nous voyons que, pour une même
valeur de « l’écartement est d’autant plus
cos. h
grand que la latitude l est plus grande. Sa plus petite valeur est :
2', ty sin.’^jcos.^M
cos.A ^ sin.^ »cos.'‘ u + (cos.ôsin.« — cos.isiu.flcos.u)’
et sa plus grande :
cos. h
La première correspond à l - - O ou ~ O ; la
seconde à / = ou z'„ — r.
3® On prévoit un résultat analogue relativement à l’inclinaison de l’orbite sur l’équateur terrestre. Soit l’angle que forme la portion de la tangente à la trajectoire dirigée dans le sens du mouvement avec la partie de la tangente à l’équateur dirigée vers l’ouest, au point où les deux lignes se coupent, on aura :
dz'
gin./^= — -y—= — ds
dt
ds
If
ou en vertu de la seconde des formules (13) et de la formule (20) dont on prend la dérivée :
sin
SID* U, — L * à / ......
cos. A
Il faut faire, dans cette expression :
OQsiii.(ÿf+A)=si,»'2^.ÿf2^3. 6sBi2a«+r^ÿ-
puis remplacer par sa valeur tirée de la for-
mule (32) ; on obtiendra de la sorte :
sin
■>-=y ^ OT
M =*sin.^ icos.* u+sio.’ /cos.^ l (cos. 9 sia. u — cos.isin. fl cos. uY
sin.'^icos.'''u+cos.-/(cos.flsin.tt — cos.isÎD.flcos.u)-
l+cos.-'fl — — + 2 — cos t(cos.$siD.u — cos.tsin.flcos.u)
( ■■ Ri>
Le terme précédé du double signe , dans cette expression , doit être pris avec le signe -f ou le signe — , suivant que sa valeur est positive ou négative, de manière à ce qu’il soit toujours pris positivement comme la quantité a. Pour une même valeur de M, on voit que celle de sin. p augmente avec la latitude L
Pour / — O, il vient :
SIO ftrr
8in.^icos.*u
9in.“»cos.’«+^^+(co8.9siD.u — cos.isiD.$cos.u)j ‘
Si l’on fait en raôaie temps, soit » = — , soit U = jr, on aura : *
sin. ft — Q sin.t
^ sin.^i + ^— +COS isin. ^
ou ;« = 0
ou // = 50® 27' 23", 1
TT
Pour / = - —, on obtient :
sin. ou f* |-
Cettc valeur est indépendante de u.
D'après ces résultats on pourrait se croire autorisé à conclure que l’équateur terrestre est traversé, à peu près sous toutes les inclinaisons par les molécules du fluide éthéré. Il n’en est rien cependant ; car si nous remplaçons g par sa valeur déduite de la formule (20) dans l’expression (18) de la, résistance normale que ces molécules rencontrent pendant leur mouvement autour de la sphère terrestre, nous aurons ;
rcos.’i r
■ (cos>$8ia-u— cos.tsÎD.Scos.u) t
Cette expression étant négative nous montre d’abord que la résistance normale est dirigée vers le centre de la terre, et par conséquent est exercée par l*air qui enveloppe la couche conductrice. Elle nous montre ensuite que cette résistance croît très-vite à mesure que l’introduction de la molécule éthérée s'effectue plus près des pôles ; sa valeur devient infiniment
grande par i = -^ • Or la résistance de l’air est
loin d’ètre indéfinie. Il suit de là que les molécules étbérées, qui tendent à s’introduire dans te sol près des pôles ne font que l’effleurer et n’y séjournent pas. D’un autre côté les molécules venues de ces régions dans une direction presque parallèle à celle des méridiens terrestres, rencontrent, à mesure qu’elles se rapprochent de l’équateur magnétique, d’autres molécules dont le mouvement tend de plus en plus à devenir parallèle à ce grand cercle ; et comme leur vitesse est devenue très-petite par rapport à celle des secondes, vu le trajet qu’elles ont déjà parcouru dans la croûte terrestre, elles finissent par être entraînées dans le courant général qui va de l’est à l’ouest, il résulte de là, qu’on peut, jusqu’à un certain point, assimiler le globe terrestre à un solénoïde, mais à un solénoïde qui ne peut s’étendre très -loin de part
et d’autre de l’équateur magnétique. Aux environs des pôles, il devient trés-irrégulier, et cette irrégularité est encore augmentée par le peu de conductibilité des substances qui s’y trouvent, telles que les glaces et les eaux de la mer.
11 importe de vérifier ces idées par l’expérience, et de contrôler ce qu’elles peuvent avoir d’exact ou d’exagéré. C’est ce que nous allons faire en étudiant les lois théoriques de la variation des éléments magnétiques avec la latitude.
§ 7® Variation de la déclinaison à différentes latitudes : Soit A l’un des pôles d’un aimant que nous prendrons pour origine des coordonnées ; MM' — rfs un élément d’un courant circulaire de rayon />, dont le plan est supposé parallèle au plan XAY et dont le
centre se trouve dans le plan ZAX. Soit de plus Ao == p, oo' — AM = r, Ao'N = L’action de l’aimant sur l’élément du courant MM' est une force qui est perpendiculaire au plan passant par le courant et par le pôle A, qui a son point d’application au milieu de MM', et qui a pour expression, d’après les expé-
ds sin. 0
riences de Biot et les calculs de Laplace : f*
ou — , n désignant une constante, 0 l’angle que
forme l’élément ds avec le rayon r, et d‘<t l’élément de surface triangulaire MAM'. Appliquons au point A deux forces égales et parallèles à la précédente, mais opposées l’une à l’autre. Nous pourrons considérer l’action mutuelle de l’aimant et de l’élément de courant , comme représentée par une force appliquée en A et un couple. Répétant la même opération pour tous les éléments du courant circulaire et composant tous les couples entre eux , ainsi que toutes les forces entre elles, nous obtiendrons un couple unique et une résultante unique passant par le point A. Dans le cas des courants fermés, ce qui est le cas actuel, le moment du couple résultant est nul. Quant à la résultante unique, qu’il nous importe de connaître , désignons par X , Y , Z ses composantes ; par U, V, w les projections de r sur les plans des yz, des zx et des xy ; par y, x> ’l' angles que ces projections font respectivement avec les axes
des y, des a- et des « ; par >f, ceux que fait la normale à l'élément de surface rf’» avec ÀX, AY, AZ- Nous aurons :
y - /’d’acos.p' /n»^dp /»yd* — «rfy
a /»d’»cos.;f' /’v’rfy ftzdx—xdz
- /»rf^»cos.^' /v»-(t<li r>xdy-
etÿ
■>®dy — yrf®
Les intégrales s’étendent à tous les éléments du circuit. Si nous avons égard aux relations :
x = p — P cos. ù) , y — P sin. u , z — q
nous pourrons remplacer ces intégrales par les suivantes :
Dans lesquelles on a :
r’ = x' -f- y - 4 " 2'^ — P ‘ Q* ~ ^ P P " ou ; ï' == — » k C08. u) ,
2 P fi
en pnsapt : l- ^ -\- q‘ p , k — --[7~
On voit immédiatement cfue la valeur de Y est nulle, comme étant composée d’éléments égaux deux à deux et de signes contraires, ce qu’il serait fcwüe d’aillejurs de vérifler par le calcul. Donc : la résultante se trouve dans le plan ZOX, qui passe par le pôle A, par le centre O du cercle et par la droite 00’ perpendiculaire à son plan. 11 en serait de même si, au lieu d’un cercle unique on en considérait un nombre quelconque formant un solénoide dont l’axe serait 00'.
Tirons tout de suite quelques conséquonoes de cette propriété relativement à l’étude dos déclinaisons à (iin'érontes latitudes. Soit oP l’axe de lu terre; oP' l’axe
du solénoïde dont l’existence supposée produit Igs phénomènes magnétiques ; i' l’angle PoP', qui est égal à l’inclinaison de l’équateur magnétique sur l’équateur terrestre ; X la latitude du lieu d’observation M, laquelle est égale au complément de l’angle MoP ; X' la latitude magnétique du même lieu , ou le complément de l’angle MoP' ; D l’angle PMP' ou la déclinaison de l'aiguille aimantée. Nous aurons, dans le triangle sphérique PMP' :
C08. PP' = C08. MP C08. MP' 8in. MP 8in. MP' cos. D
ou : CG8. t' = sin. X sin. X' -j- cos. X cos. X' cos. D.
D’où : cos. D =
cos. i' — sin. X sin. X' cos. X cos. X'
Pour calculer la valeur de X' à une époque quelconque, supposons connues, à cette époque, l’inclinaison i' de l’équateur magnétique sur l’équateur terrestre, et la position de ses nueuds. Soit .ME X, ME' — X', E'NE - i', .MNE --- n. L’angle NE est
supposé connu : il est la différence des longitudi's des points M et N. Nous le désignerons par o. Cela pesé, le triangle sphérique rectangle MEN nous donnera :
iTîxt ^ A tan^* X
cos. MN = cos. a cos. X , tang. n = —
sin. a (40)
Connaissant les angles MN et n, nous passerons à la connaissance de l’angle X', à l’aide de la formule suivante déduite du triangle ME 'N
sin. X' = sin. MN sin.(n — i') (41)
Si l’équateur magnétique était incliné sur l’équateur terrestre du côté opposé au point M, comme dans la figure suivante,
on déterminerait les angles , MN et n comme précédemment; mais l’angle X' serait donné par la formule :
siii. X' = sin. MN sin.jn -j- i') (42)
On conçoit qu’à l’aide des formules (40) et (41) oii (42), on exprime en fonction de >, a et V, puisqu’on effectué la substitutioh dans là formule (39). Or à une même époque, ou à des époques peu différentes, les valeur de a et de i' peuvent être considérées comme constantes. On aurait donc une formule qui permettrait de constater comment, à cette époque, la valeur de la déclinaison D varie avec la latitude. Sans effectuer cette substitution, il suffit d’examiner la figure de la page 43 pour reconnaître que le rayon oM variant de la position oA à la position oP, en restant toujours dans le plan PoA, l’angle PMP’ va toujours en croissant. Ainsi, à une même époque et sur un même méridien la déclinaison doit augmenter avec la latitude du lieu d’observation. L’expéliertce prouve, en effet, que c’est vers les pôles qu’on observe les plus grandes déclinaisons ; mais elle prouve en même temps que l’idée d’un solénoïde à axe rectiligne ne saurait être admise comme définitive. Car, pour tous les points du méridien dont le plan passe par oP et oP', les déclinaisons devraient être nulles en même temps. Or on sait que les lignes sans déclinaison, tout en ayant la direction générale des méridiens terrestres, sont loin de côincider toujours avec l’un d’eux.
§ 8“. Varûtiion de l'inclinaison avec la latiulde : Heprenons les v.alenrs de X et de Z données par les formules (38). Pour en avoir une valeur approchée,
développons — p- en série, par la formule du binôme. Il viendra :
Or, suivant que n est pair ou impair, on a :
D’où résultent les valeurs suivantes pour X et Z :
iitftgp i 3 to»
Si maintenant nous regardons la croûte terrestre comme parcourue par une série de courants parallèles et de même intensité, et si S représente la distance de
deux courants consécutifs, de manière que ~ soit le
nombre des circuits qui correspondent à la distance inliniment petite dq, nous aurons pour les composantes de l’action exercée par les courants sur l’un des pôles d’une aiguille aimantée :
ou bien :
En supposant que ces courants circulent à la surface de la terre, et désignant par X' la latitude magnétique du point où se trouve l’aiguille aimantée, par ri celle d’un courant circulaire quelconque BC qui agit sur cette aiguille, par r le rayon de la terre, nous aurons les relations :
P == r cos. X' , g = r sin. >7 — r sin. /' , p '= r cos. »,
ip P cos. X' cos. >5
+?*+/>' 1 — sin. x' sin. »,
et par suite :
so
•nu P (sin. »i — sin. ^') co».^ »> ‘ ~ (1 — »>“• A' s‘“- v)\
Ed.
ff/iCOl
n eos.^ n
jY/2~ J i' >î)f
en posant, ponr abréger :
5 i cos. ï> cos- 1 )
"2 * "l" 1 — sin. A' sin. >»
1 , 3 / cos. A' cos, 0 \*
2TT\ 1 — sin. y sin. >i
