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les équations de ces lignes; imprimans à cbacunes d'elle^ un mouvement quelquonque; eu faisons suivre ces mouvements par les axes, auquels ces courbes sont rapportées, on aura les deux groupes d*équations que vrici

X = a -j- a?' ces a — y'sîn a F^ (a, &, a) = o (19)

j =b ^ x'sinoL -{- y cos a F^ (a, J, a) = o

0? = a -}- ic' cos a — y" sin a' F3 («', i', à) = o (20)

y = è' -|- a;*8in a' -j- y"cos i F4 (a", b' i) = o

en désignant par x, y, les coordonnées, par rapport au système commun des axes fixes de T intersection des deux lignes (18). Si ron ajoute i ces équations une dernière:

pour établir une dépendance entre les deux mouvement, on aura onze équations entre les douze variables:

^î jr» ^\ y, ^\ y\ «> ^ «', *'> a, a-

éliminant les dix dernières, on trouvera une relation entre X, y qui sera précisément l'équation du lieu cberché. Toute la difficulté consiste donc à trouver les conditions des deux mouvements, et à une élimination.

Voici un exemple.

Nous supposerons que les deux lignes (18), sont des droites, que nous pfendrons pour axes des^jj*"; leurs équations serons donc,

en outre, nous supposerons que ces droites se meuvent sur les plans d une bielle de longueur p^ et dune manivelle de longueur q\ que les origines mobiles coïncident, lune aveo

le (bentre de rotation de U manivelle, et Tautre avec le point qui décrit une ligne droite, pendant le mouvement de la bielle; l'origine fixe coïncide aussi avec le centre de rotation de la manivelle, et Taxe de cc^ avec la direction du mouvement rectiligne du système.

Daprès ces suppositions on aura,

i' = a' = i = o et les équations (19) (20) (21) deviennent,

rc = — y sin a , ^ sin a -|- /? sin à = o y z=z y cosa

a; = rt — y sinà , g cosol -{- p cos i = a y = y' cos «

Télimination de y , y\ a, a, a, ne présente pas des difficultés sérieuses, et l'on trouve déffinitivement,

[x {x' -f /)• — ip' X' -\-p'f ~ g' xY] X

[qy-{-(p'x* +p'f - q'xY] = 6 mais en supposant

gy — [p^ x" 4-;?^/ — gr'- x^)^= o on obtient

qui représente l'origine; Téquatiou du Heu cherché est par conséquant,

(22) [x^ +/) ip' — x') = g' x^

équation que nous avons rencontrer plus d'une fois dans le».

|)fécétlents mémuirc». Si IVïn fait p=qi cas qui correspond dusvâtcme bien connu ào l^aîre.^n trouve.

f p' ^ x' {x' -ir f)

et en passant au coordonnées poUaires,

(23) r=/?lang6

courbe dont les propriétés, très nombreuses «t Irès élégamles, ont été donnée par M. De la G^urneric (*).

Supposons encore que les axes {x\ y') sont anim«éi d'im mouvement de translation uniforme, pendant que les {x\ y") tournent autour de l'origine fixe uniformément, et rhercbons la courbe lieu des intersections successives des droites^

les conditions du mouvement donnent,

a = O , b = ci , a= con^,

d'où, en reroplaçafit dans les équations (19) (20) (21),

y = jc' sin i. ^ y = €x X = a" cosflc

r<élimina4ion de x'\ à, s'effectue aisément et Ion trouve,

(21) — = tang —

équation fort simple pctir que j'insiste

. . — l^ps considérations précédentes nous conduirons à la

solution d'un problème, bien plus important.

Deux plans n, P, se meuvent sur un troisième fixe, ii s'agit de déterminer la courbe tracée, par up j.oiiit [x y)

(*) Traité de^cométiie déscrjptive.

in plan n, sur le plan P. Le mouvement du plan P» sur le plan fixe, est régi par les équations (20)« comme celui du plan n, par les équations (19); la relation (21) établi enfin une dépendance entre les deux mouvements. II est évident que les traces, d*un point quelquonque {x\ y' ) du plan II, sur le plan P, sont données par les coordonnées {x\ /'); les équations (19) (20) (21) au nombre de neuf, contiennent diz variables, à savoir:

en éliminant les huit^

on trouvera une relation entre 3i!\ j\ qui sera l'équation de la courbe cherchée, c'est-à-dire de la trace du point {x y) du plan n, sur le plan P.

Des quatres équations:

Fi [a, b,(x) = o F3 {a\ b' i) = o

on peut tirer les valeurs de a, b^ a\ b\ en fonction de a, a, et remplacer ainsi ces équations par les suivantes

ces dernières combinées avec celles qui forment la première colonne de (19) (20), donnent

*i W4"^' ^^^ *^y ^^^ a = ^3 (a)-|"^" cos à— y" sin à

<i>2 (a)-}-^' sin a-f-j' cos a = 4»4 (a)-}-^' sin ér\^" cosà

et aussi,'

la solution du problème que nous nous étions proposé, se ré* duit donc à Télimination de a, à, entre les équations (26) (27)« Faisons quelques applications.

Nous supposerons que le plan P, est animé d un mouve> ment de rotation autour de lorigîne fixe, ce qui donnera^

a' ^h' =zo

quant au plan n, nous lui imprimerons un mouvement de reptation^ la reptatoire étant une circonférence de rayon R autour de Torigine fixe, cela donnera,

é = R cos à , a = R sin à ^ a = o et les équations (26) (27) déviennent

— y ' = [x'' — R) cos i — f sin i

x' = y cos à -j- {x" ' — R) sin à d'où

js'*+y' = (x"-R)»+y'»

donc le point {x% /) du plan n, décrit sur le plan P, une circonférence.

Supposons encore,

a = mi y a = o et prenons pour point décrivant l'origine (a, h\ ce qui donnera,

a;' = y' = o les équations (26) (27) deviennent dans ce cas

mi = x" cos à — y' sin et o = x' siu à -j- y cos à et en élimioani a,

(28). x" +y * = (m arc tang"?^^

c*esi donc une spirale d'Archimède, dont le pôle se trouve à Torigine fixe (*).

DlSQl £ TOURNANT DE M. LE GÉNÉRAL MORIN.

Cet appareil h été employé pour l:i vérification des lois du frotement, et pour létude du mouvement dun chien de fusil.

On adapte un plateiu à Parbre dont on veut déterminer la vitesse angulaire Fig. 4. Un mouvement d horlogerie fait tourner suivant le petit cercle NN', une pointe traçante dans Tespaco absolu. Si donc le plateau reste immobile, le style y marquera ce cercle; mais si le plateau marche, il tracera une certaine courbe MM'.

Dans plusieurs ouvrages qui traitent des mécanismes ('*'*), ou trouvera d'autres variétés de cet appareil. Nous nous bornerons dans ce qui suit à examiner la nature de la courbe MM', décrite par la pointe traçant?, pendant U mouvement, ainsi que plusieurs autres détails que noui n'a* vons pas rencontrer.

Prenons pour origine fixe le centre du plateaux O.

L une des origines mobiles [a\ b') coincide avec 0, donc

l'autre (a, h) sera prise sur Taxe des x fine, mobile donnera,

(*) Voir: Problèmes de Mécanique Raliounelle, par le P. M. Jullien t. I. p. 208, édit. 1855.

^**) Voir HalOD de la Goupillière, Traité des 3Jécanismes, renfermant la d/u'vrie géométrique des organes^ et celle des résistances pamvef. p. 3$2#

b = o a = const = c

en désignant par c^ la distance 00', qui r^ste constante pendant le mouvement.

Les formules (26) (27) en y substituant les valeurs cidessus deviennent,

c -j- a:' cos a — J"' sin a = x" cos à — y'* sin à

x' sin a -f- jr' cos a = x" sin de -j-/'' cos a

et Télimination de a, à, donnera une équation entre x'\ y'\ qui sera celle du lieu relevé sur le plateau. Si Ton sufpose

les deux premières (29) prennent la forme

c == [x" — x') cos a — (y" — y) sin a

o = {x* — x) sin a -|- (j"' — J"') cos a d'où

(30) (x"-x'/ + fy'-y/ = c'

par conséquent la pointe tracera sur le plateau une circonférence.

Les calculs se simplifient considérablement, lorsqu^on prend la pointe, dont les coordonnées sont {x* y') sur Taxe des x\ on aura, y=^o^ et les équations (29) deviennent,

c -^^ x' cos a = x" cos à — y' sin à

x' sin a = x' sin à -|-y Cos à

on peut remplacer encore x", y", par des coordonnées polaires, r'\ 6', on trouve ainsi,

6u bien

c -^ x' C09 a = r" coi (ot -l- 6" ) x' sin a = r" sin (at -}- ft";

r"» — a;'* — ^ cos a = '

2cx'

cos {i + e") = — i-^T^^.

formules qui se piètcnt mieux dans la pratique, puisque les deux angles a, à, doqt on a surtout besoin, sy trouvent séparés.

Elles (31) contiennent quatre variables, et l'on peut se donner, au lieu de la troisième (29), une relation entre r\ 6",

qui sera évidemment l'équation de la courbe tracée sur le plateau; eu éliminant r", 6', entre cette dernière et (31) on aura une relation entre a, à; et comme on a la valeur de a, en fonction du temps, on aura aussi à, en fonction de celte même variable, et par suite la vitesse angulaire de Tarbre. Cherchons par exemple la relation qui régie les angles a, à, pour que la pointe décrive une ligne droite passante par le centre du plateau ; on aura dans ce cas,

puisque la pointe, doit passer par le centre du plateau; si Ton suppose en outre, que la droite, est Taxe des x' même, on aura,

et en combinant ces dernières avec (31) on trouve après quelques réductions,

de sorte que la vitesse angulaire de la poiote doit être doubla de celle du plateau.

Pour nous faire une idée nette et précise de la nature de la courbe relevée sur le plateau, nous imprimerons à Ten* semble de l'appareil un mouvement de rotation autour de l'arbre 0) de manière k réduire le plateau tournant au repos; par suite de ce changement la pointe (le style) se trouvera animée de deux rotation^, q\ lune s'effectuera autour de O, et fera décrire au point O', qui était immobile auparavant, une circonférence autour du point 0, l'autre rotation q continuera à s'effectuer autour de 0'. La question revient ainsi à examiner le mouvement sur le plateau qui reste immobile, d un plan n, dont un point décrit une circonférence. En désigrfant par Oj, la position du centre imtantané nous aurons pour déterminer ce point,

ou bien,

00, . /? = 0,0' . q 00, . /? = (00, + ÔD') q

d'où

(32) OOi = 00'

équition fort simple, qui donne la position du point au* t'ur duquel s'effectuera la rotation résultante, et par co.i* séquent la tangente à la courbe du plateau, lorsqu'on connaîtra les deux rotations p^ q ; inversement s'il s'agit de déterminer à un instant qnelquonque, la rotation de l'arbre, d*après la courbe tracée sur le plateau, on mènera la normale à la courbe, au point décrit à Tinstant considéré, en la prolongeant jusqu'à son intersection avec la droite 00', on aura ainsi la position approximative du centre instantané, et Von formera dessuite Téquation (32) d où Ton pourra tirer la valeur de p^

ÔÔ, -f 00'

/- — mr'

qui «st la seul inconnue.

si le rappoit — , reste constant pendant toute la durée

du mouvement, ]e centre instantané de rotation 0^, restera à u.ie distance constante du point 0, et le mouvement se réduira au loulement dune circonférence de rayon 0^0, sur une autre de rayon 00^; la courbe relevée sur le plateau sVra dans ce cas, du genre des épicycloïdi^s. Enfin lorsque ce rapport devient égale à I unité, le plan sur lequel est fi^ xée la pointe se trouvera animé d'un mouvement de reptation, le centre instantané passe à l'infini vers la direc* tîon 00', et tous les points décriront des circonférences non concentriques, mais de même rayon. C est le cas (a=à) que nous avons examiné plus haut, et l'on voit que les résultats de cette méthode synthétique, sont en parfait accord avec ceux de l'analyse.

— L'idée primitive sur laquelle s^appuit l'appareil que nous étudions, et qui d'après Bour, est due à M. le général Ponrelet, a été mis à profit, pour étudier la loi de la chute des corps.

Une bande de papier est enroulée sur un cylindre qui tourne d'un mouvement uniforme autour de son axe, pendant qu'une pointe, tombe sous l'action de la .pesanteur le long d une génératrice. Le hauteurs y, de la pointe étant données en fonction du temps par la formule,

et les abscisses se succédant d'un mouvement uniforme,

X =^ at il est évident qu'on aura,

équation d'une parabole, qu on trouvera sur le papier apris le déroulement.

Remarque . 11 serait peut être plus commode d'employer