IMPRIMERIE NATIONALE

Différentiant les équrations,

:p :?= a -nj- x' cos a — y' sîn a

y = J -|- x' sin a 4^ y cos a

n fois consécutivemept par rapport à a, on obtient^ eu éga< lj3in| à zéro lesse couds membres,

^ dr a'n 510 a db y'n cos a = o

doc

{ny

— :p a?„ cos« ±:y„ sm«= o

et en éliminant x\^ y\^ entre («)', (1),

a, b^ sont données en fonction de a, par les deux équations de condition,

F (rtj ij a) == o (2)

Fj (a, i, a) = o

en éliminant donc a, &, a entré (n/ (2) on aura Téquation de la courbe M^ ; lieu des centres instantanés du n® ordre sur le plan mobile, de même 1 éliûiination des variables a, b^ ol entre [n)^ (2) donnera Téquation de la courbe F„ lieu des centres instantanés du n^ ordre sur le plan fixe. C'est sur les équations {n\ que nous avons opérer dans le précédent mémoire, mais le double signe dont les termes de ces équations sont précédés, donne lieu à des complications inextricables. En effet, les secon<ls termes de ces équations ont le même signe, toutes les fois que 72, est pair, et ce sera le signe plus, si n est pair de la forme 4^, en supposant que k, eât un nombre impair; au contraire ces termes aurons des signes différents, lorsque n est impair, et le terme de la première équation sera affecté du signe plus ou du signe moins^ selon que n est un impair de la forme 4Â:-|-3, ou 4/f-|-l. C'est là un inconvénient une difficulté réelle, qu'il s'agit de faire disparaître; pour cela je rappelé les deux formules suivantes,

J" sin a . r I ^\ = sin I a+n ■ — )

" cos a / 1 " )

— ■ = cos ( a-+-« — J

en différeRtîant donc n fois consécutivement les équations (1) et égalant k zéro les seconds membres, nous pouvons mettre les résultats sous la forme,

^ + x^ cos [a 4- n^j -y'n •!« (« + '^-^j = ^

— 4- x\ sin fa + n—j + y\ cos (a + n— j = o

et en développant,

— + cos n — { ^'a co» a — fn ^»n « J

in n — I a?'jj sin a 4" y n ?<>**] = ^ ;j. 4- sin 71 -r"(«'n cos a — /„ sin aj 4" s n — [x n S'** a 4'*/n c^**) = ^

ces équations représentent le centre instantané, du n* ordre sur le plan mobile. Nous pouvons éliminer x' y* entre ces équations et (1), et nous obtiendrons,

— = — (x„ — a) cos n —^ (/„ — 6) sin /i —

— = — (x„ — a) sin/i — - (/„ - i) cos/i —

et en désîgnJint par U,„ Tangle que fait la droite 00,^ qui

joint le poiat (a^„,^J à Torigine mobile, &yec Taxe deé x^ fixe, on pourra écrire ks formules qui précédenl comme il suit,

^^=.-00„co.(u„ + „)

d'^b — / ^\ == — 00„ sio ( U„ + n —

forme extrêmement simple, et qui conduit Lien plus rapidement, aux résultats que nous avons obtenus jusquici, par des méthodes, un peu différentes ; il est aussi évident que ces deux équations suffisent pour déterminer le centre

instantané du n* ordre, an moyen des Tariables U^, 00^

Les équations (4) peuvent se mettre sous la forme,

(d''a\\ (d'bV ,

,=— „tang(u. + n|.)

a, bj étant données en fonction de a, et a étant connue à chaque instant, on peut au moyen de ces dernières équations déterminer 00„ et U^.

Ayant d'aller plus loin, faisons quelques applications.

Un point du plan mobile décrit une circonférence, il s'agit de déterminer la position des centres instantanés des divers ordres. ]^n prenant le point décrivant pour origine mobile, et le centre de. la circonférence pour origine lixe, on aura^ pour équation de condition,

R étant le rayon de la circonférence. Différentions maintenant cette équation /z-|- 1, fois consécutivement par rapport à «, il viendra,

■^ ha

ni 91

^ est Tangle que fait la droit6 qui passe par les deux origines, mobile et &xe, avec Taxe des x fixe.

L*équation précédente résout complètement la question que nous nous étions proposée ; supposons /z=o, on aura

^U, — ç + y) = ^ , d'où U, = ?

donc le centre instantané du premier ordre, se trouve sur la droite qui passe par les deux origines, fixe et mobile ; faisons ensuite /i=l, et nous trouTerons,

R. 00, cos (U, — ?) = 00\

équation qui représente la perpendiculaire abaissée Fig. 1. du centre instantané du deui^ième ordre sur la droite 00^. Cette formule n*est que celle qui donne Texpression du rayon de courbure R, de la Trourbe décrite par l'origine mobile O, et cette circonstance peut servir de vérification. Faisons encore /2=3, alors on trouvera,

R OÔ3 cos (U,-(ïH|-27ç)+2Ôb,00,cos (u, — U,+-^) +

ou bien

i 00, cos [u, - U, - ^1 =

R. OO3 cos (Uj — ç) 3 OOt ÔOj cos (U, — Uj = o

cette équation donnera aussi la projection du centre instantané du troisième ordre, sur la droite 00|, lorsqu'on connaîtra les centres instantanés des ordres précédents, c'est-àdire O,, Oj. En continuant ainsi de proche en proche on pourra déterminer le centre instantané du n^ ordre, quand on connaîtra touts les centres dos oi^res inférieurs.

Prenons pour second exemple le mouvement conchoidaL Lorsqu une^droite OM, Fig. 2, du plan mobile passe constamment par un poini fixe O, «es différents points décrivent des courbes que les anciens ont nommées concholdes (*), et le mouvement s appelle dans ce cas, mouifcment concholdal. Prenons pour axe des x\ la droite OM, et le point fixe O, dont elle passe, pour origine five; Torigine mobile se trouvant sur un point quelconque de OM. Pour exprimer que Taxe des x\ passe constamment par l'origine f ixe, il faat faire dans les équations (1)

cç qui donne,

(7) a sin a — £ cos a = o

Notons d'abord, que le mouvement, comme dans le cas précédent, est i liaisons incomplètes ; et pour qu'il soit bie6 déterminé, il faut encore une seconde relation entre a, 6, a; pour celi, on doit se donner l'équation, relativement aux axes fixes, d*une quelquonque des concboldes décrites, par la droite OM, et prendre ensuite, le point décrivant pour origine mobile. Cette seconde relation jointe à Téquaiion (7) rendra évidement le système à liaisons complètes.

S'il s*agit de déterminer l'équation d'une concboïde quelquonque, on éliminera a, £, a, entre les deux équations dont nous venons de parler, et les équations (1), on aura ainsi une relation entre x^ /, x\ y\ qui sera l'équation de la courbe décrite par le point \x\ y) du plan mobile, sur le plan fixe. Nous donnerons tout à l'heure, plusieurs exemples des concholdes, et nous montrerons comment, graçe à un artifice fort ingénieux de M. Ed. Uabich, les calculs se simplifient, quand il s'agit de déterminer les courbes M^, F^, qui roulent Tune sur I autre pendant le mouvement.

Occupons nous maintenant & déterminer l'équation qui lie les centres instantanés des divers ordres, en nous servant de l'équation (7'.

(*J Voir Cbasies : Propriétés relatives au Déplacement fini queltjuonque^ dan* Vespaccy d'une figure invariable^ CompUs reodus, t. LI et LU.

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troure constamment à Torigine fixe comme on le savait déjà; faisons ensuite /i=S, il vient,

ÔÔa sin (U, — a) — 2 ÔÔi sin (U, — a) = o

formule, dont la traduction géométrique a été donnée par M. Bresse, dans un mémoire, que nous avons plus d'une fois cité.

Prenons OK = 200i et élevons sur OK, une perpendiculaire KO2, le centre^ instantané du seconde ordre, se trouvera sur cette perpendiculaire, soit en 0^. Faisons encore n:=3, on trouve, en ayant égard aux équations précédentes

— OÔ3 cos (U3 — a) — 3ÔO3 cos (U^ — a) 4- 2Ôt)i cos (Ui — a) = o

formule fort simple à construire; on prendra une distance

KKi = 3KO3 et on élèvera par le point K^, une perpendiculaire sur KK^, le centre instantané du troisième ordre s'j trouvera.

Le mouvement conchoïdal jouit d*une autre propriété, qu il est nécessaire de faire connaitre, soit,

(9) r = F (ft)

Téquation de la concholde MN, Fig. 2, en coordonnées polaires. Au moyen de simples différentiations, on peut déterminer les courbes Mi, F^, qui roulent Tune sur Tautre pendant le mouvement. MO^ étant la normale à la courbe MN «u point M, et 00^ perpendiculaire à OM, il est évident que le centre instantané se trouve au point 0^. Mais la longueur OOi, est égale à la sous-normale de la courbe MN (en coor« données polaires), donc le lieu géométrique des points Oi, en désignant par r^, Oi ses coordonnées polaires, sera représenté par Téquation,

F', étant la dérivée de F par rapport i 0. L'équation du lieu des centres instantanés sur le plan mobile se détermine aussi aisément. En effet, prenons pour pAle le point M, et pour axe polaire la droite MO, nous aurons,.

r', = OiM , e'i = OMOi.

r'i, O'j, étant le rayon vecteur, et Pangle polaire de la courbe cherchée. Le triangle rectangle MOOi, donne,

F (e) = r\ co9^\

F' (6) = r\ sin e\

Télimination de 6, conduira à une relation entre r'i, 0'^, qui sera l'équation de la courbe cherchée. On voit donc qu'il est possible de déterminer les courbes qui roulent lune sur l'autre, au moyen des simples différentjations.

Prenons pour exemple du mouvement conchoïdal, le cas ou un point H, Fig. 3. du plan mobile, parcourt une droite fixe AH, parallèle à Taxe des y Gxe, le point qui la décrit sera pris sur Taxe des y, HB. Désignons en outre par /?, ^, les

distances OA et HB, constantes pendant le mouvement. Gomme le point,

décrit la droite,

nous devons avoir d après les équations (l), et en y remplaçans les valeurs qui précédent,

a = p -f- y sin a avec la condition

h = c^ tang a

qui expriment que Taxe des x\ passe constamment par Tarigine fixe 0. L'élimination de a, i, a, entre les deux der-

^a? — p) y — X ' sin a =

nières et (1) donnera l*équàtiod de la cotitbe décrite {mu* uti |)oiiit {(t' y') du plan mobile, sur le plan fixe. On troute d'abord,

{X — p) X -\- iq ~ y') y'

COS a =^ ; — ; ' ■

[(a, ;,) r—xyy 4- [{x-p) X + {q~y')yj =

lxx'-\-{q—y)ry

équation du quatrième degré, dont l'étude attentive conduit à Jplusieurs réëultats intéressants.

Supposons x' =y' =x o, il vient

et en passant aux coordounées polaires,

q sin 6 -j- /»

MaMki

cosO

qui représente la réciproque de la courbe d ombre dans Tepure 9e la vis à filet triangulaire, lorsque les rayons Itimineux sont parallèles {*), si en plus p^=q^ l'équation précédente représentera un strophoîde, dont on pourra évidemment construire le nayon de courbure au môy«e tles centres instantanés.

Déterminons maintenant les courbes F^, M^, qui roulent l'une sur l'autre pendaht le moutement; d'après ce qui précède il suffit de différentier l'équation (13) par rapport à 6, il vient,

(*) VaQ.C%\%Ki Appli<i4tiions d* Analyse, et ^ Géométrie l, I, no7es p. 4d0 et 460; 1)6 la (jrouraerie, Truite de géométrie descrifrtive t. III, p. 136 et çfttiv.

mais r^, é], étant le rayon vecteur et l'angje plaire de U conrbe Fi, on a^

dr Ç '^ P ^^" ^

d)'^^'~ cos^e

d^où

flr — » COS 9i

si» ' 0,

Aussi facilement on déterminera la courbe qui roule sur celle dernière; pour cela il faut éliminer 6, entre les deux équa* tions suivantes,

» 4- ^ sîn 6

t\ cos e\ = ^—^ —

ces 6

r j sin 1 = —

cos^ 6

r\, 6'i^ étant les coordonnées polaires de la courbe cherchée; l'élimination s'effectue aisément on trouve définitivement,

(MJ [{r\ cos Ô'O^ + q{q — 2r\ sin 6',)] X

[P" — f — i^\ cos 6'i)^] + {r\ sin b\f ip' •~q') = o

équation qui se simplifie considérablement lorsqu'on modifie les paramètres p et q. Supposons /?== q, les équations (Fi) (Ml) deviennent,

(r, sin e^)* = — 2 ^r Tj cos 6i -f jr'

(r; cos e'i)' =tz2qr\ sin e'^ — ?'

r'rsl donc une parabole c(ui roule sur elle même, ma?s Je telle façon, que les points homologues coïncident à ch ,que instant; ainsi on peut engendrer le strophoïde par un mouyement continu. U y a aussi à ajouter que dans ce ca» p^rliculier, le point, dont les coordonnées sont x = o^ y^=^ \ Pi ^t ^»»' coïncide avec le sommet de la parabole roulante, décrit une cissoïde ; c'est Newton, autant que je me rappelle, qui & fait cette dernière remarque. Mais nous avons démontrer dans le premier mémoire sur cette matière (p. 15), que la courbe S, décrite par le point 0, d'une aut. e courbe 2, roulante sur elle même, est Penveloppe d'un cercle qui passe constamment par le point O, et dont le eentre se meut sur la courbe 2 ; donc la cissoïde est Ten- Ycloppe d*un cercle, qui passe constamment par le sommet d'une parabole, que décrit son centre. C est là un autre modiî de génération de la cissoïde^ non moios^ important que. U premier.

Supposons encore,

àano les éqiwtions (F^) (Mj\ ri viout,

{i\ s."n 6/ = — pr^ cos G^

p = r\ cos 2 6'-.

\\ première représente une parabole et la seconde tfnê reurbe du quatrième dég 6 qu'il est assez facile dedisculer.

C'est sous cette doniière fm^me [qjz^o) que les couchoîde* ont été étudiées pour la première fois par Nicomède; Ou po!?rra faire plosieurs a^itres suoposilions, et arriver ainsi à la solution des problème» plus ou moins- intéressants ; m is je iriiisisterai pas sur ces détails.

Dans le deuxième mémoire j'ai donné, d'après M. Bour, tex pression du rayon dé conrbiwe p', de la première développée d'une courbe décrite par un point du plan mobile. Il s agit dans ce qui suit de donner l'expression du rayoo de courbure p", de la deujKième développée. Le calcul différentiel donne pou<- expression de ce rayon en fouctioa de coordonnées Cartésietwes-;

îê I «

Ou.