KDE DE SEINE-SAINT-GERMAIN
THÉOME MI HODVEMENT
^ Je me propose d'établir quelques formules dont l'emploi ^ pourrait être utile pour l'étude du mouvement d'une figure ^ dans son plan (*).
^ Considérons un système d'axes rectangulaires, OV,
^ Oy, tracés sur un plan P, mobile suivant une loi quel- ^ conque, sur un plan Q, fixe; soient :
a, 6) les coordonnées de l'origine mobile O', par rapport à deux axes fixes Ox^ Oy, rectangulaires et arbitrairement choisis sur le plan Q ;
a , 1 angle (xa/) .
Les formules de transformation des coordonnées sont :
,. j? = a + «^cosa — ysina,
y = J + a?' sin a + y'cos a.
(*) Pour rbUtoire de ceUe question. Je renyerrai le lecteur à la préftee
de TeieeUent ouvrage de M. Resal, Traité de cinématique pure, chez
MaUet-Bachelier.
D'ailleurs, la nature du mouvement fournira deux équations de condition , soit :
On aura F équation de la courbe tvacée suf 1^ phinQ» par ud pdni {so* =^Af 1/ ^ B) 4ii pian P^ en Âiâifaant a, 6, a, entre les équations (1), (2), après avoir remplacé dans ces derinères,! x'^ y' par ieoi» valeurs A, B.
Centre instantané de rotation. Ce point est donné, sur le plan mobile, par les équations
da , , ,
-z X, sma — yjC0Sa = 0,
-f- -\-x\co& * — y*, sua « = 0.
Elles expriment que les déplacements infuiimMi pMit» é6t pdmt {x\ , n',) soat nuls; Les ée^oations* (1) , (8) âmuMit
x, , y^ sont les coordonnées du centre instantané relativement aux diteô fixe» (*) . Ett êliwiinanl a, *, « entre tes
(") Pour trouver le centre de rotaftion, q«antl 11 s'agit d'un déplaeement fini d'une figure, il faut faire dan» les équations (1) »'=», v' = y» ce qui donne
y8lna + «(l — cosa) — a=0
— »ai»*-f tf(l — «••)— ^ = *-
Ces équations représentent 1m bissectrices des angles (a»'), {y^)
équations (2), (S), oq aura !• lien des centres iDStantanés sur le plan mobile ; de même 1* élimination de ces quantités entre (2), (4) donnera k courbe des centres instantanés sur le plan fixe. Je désignerai dorénavant ces courbes par les lettres M, F. Les équations (i), (A) donnent pour tout point du plan mobile
dy g« ' ^ X — X^
donc les normales aux courbes décrites pendant le mouvement par les divers points, passent par le centre instantané.
Cherchons maintenant Tenveloppe d'une courbe
(5) ^{af,f/) =
située sur le plan P, et mobile avec lui. Pour cela il faut remplacer dans l'équation ci-dessus x\ y' par leurs valeurs tirées des équations (i), puis différentier par rapport à une des variables a, (, aen considérant x^ y comme constantes, on aura de cette manière
d^dj^, îfiîfy! — da/ da "^ dy doL ~"^
ou bien
rf<p / , da . db\ . rfv / , db
sm flt -7- 1 = 0.
L'élimination de a, ft, a, a/, y' entre (6), (1), (2), (6) donnera une relation entre x et y, qui sera précisément l'équation de la courbe cherchée.
L'équation (6) représente une ligne droite passant par le centre instantané ; elle coupe normalement l'enveloppée (5) , ce qui prouve que le point-enveloppe se trouve à chaque instant sur la normale abaissée du centre instantané sur l'enveloppée.
Centre instantané des aggélérations. M. Bresse, dans un mémoire qui se trouve inséré dans le 35« cahier du Journal de l* École polytecHniqney a donné une excellente méthode pour déterminer le rayon de courbure des roulettes. Voici le principal théorème de son mémoire. Le point qu'il nomme centre instantané des accélérations (*) , est donné par les équations
or les équations (1) donnent
dl- ^«+*'
dx
En remplaçant ces valeurs dans l'expression connue du rayon de courbure, on trouve
[{^-^)' + {y,-yrY
iy^—y) (yi— y) + (^s— ^) (^i— ^)'
(") H. Resal Ta nomnié centre des accélérations géométriques, Traité de cinématique puu.
et en désignant par R, R, les distances du point (x^ y) aux
deux points {x^y^) et (a;,y,) et par a Tangle (RR,)
R| COS a'
Ce résultat constitue le théorème de M. Bresse. DiSérentions les équations (i) , il vient
d«* \d% dût/
doL*'^\da da/""^ et ayant égard aux équations (i), (7)
(IXm
Les mêmes opérations effectuées sur les équations (S) donnent
Voici l'interprétation géométrique des formules (10), (11). Les court)es que nous avons désignées par les lettres II, F se touchent à chaque instant, et le point de contact est le centre instantané de rotation, donc M roule sur F «ans glisser pendant le mouvement. Le centre des accélé^ rations se trouve sur la normale commune à ces courbes et
aa distance au point de /coatact est
p, , p. sont les rayons de courbure des courbes F, M ; on prendra le signe moins, si les centres de courbure de deux courbes se trouvent du même côté de la tangente commune, et le signe plus dans le cas contraire. Pour démontrer la formule (12) , je différentie trois fois de suite les équations (1), il vient en égalant à zéro les seconds membres
Je différentie encore les équations (9) , et j'obtiens, après
avoir remplacé 5^' j^» 5^' 5^1 pa*" le»"» valeurs (7),
La détermination du rayon de courbure de F ne présente plus aucune difficulté ; on trouve
pf =
(yi— yi) (y* - »«) + (^i— ^i) (a?,— ^,)
(*) On pourrait nommAr le potnt {a^ y^ centre instantané du 3* ordre.
oa tnen
OjOjOOSa^
0, Oj, 0,,8ont les points ix,y^), (a?,y,), (x,y,), et a^
rangle (ÔO;rOjO.).
Le rayon de courbure de la courbe M se déterimne aoMH assez facilement, on trouve d'abord
pids
ou
(„) -■ „ là —
OjOjCOSa^ + OOj
Les formules (15) , (17) donnent définitivement
ce qfu'il fallait démontrer.
I^ formules (15)» (17) font voir que le centre instantané du troisième ordre dédouble Téquation (12) donnée par H. Bresse.
Si Ton différentie pliisieurs fois consécutivement les équations (1) en ayant soin d'égaler à zéro les résultats obtenus par chaque diSérentiation , on déterminera des points (^4/^1 (^iVs))*** <I^i ont des propriétés analogues.
Il est assez simple généralement de mettre en équation un mouvement géométriquement défini ; les exemples suivants indiqueront la marche à suivre.
1* Un point du plan mobile parcourt la ligne
On prendra cette ligne pour origine des axes mobHes, et on posera
2* Une ligne,
passe constamment par un point fixe* On prendra te point pour origine des axes fixes, et Ton posera
F( — acosot — isina, asina — &cosa) = 0.
8* Une ligne,
touche constamment la ligne
(6) F,(ar,y) = 0.
On aura une équation de condition en éliminant x, y, x\ y' entre les équations (a), (6) , (1) et celle-ci
rfF\\ / rfF\
dF I dx \ dF l . dx
cosa-sina^ -^ s.n« + co8«^| = 0.
dy! \ dyj ■ .
Elle exprime que les valeurs de ^ tirées des équations (a) et (6) sont égales.
Si les courbes (a), (b) se coupaient ortbogoualement, on aurait à effectuer la même élimination , avec la seule
différence que dans l'équation (c) la quantité ^ serait rem-
placée par ^ .
dx
i<* Lorsque la figure en mouvement est un cercle ou une droite, on peut prendre, comme première équation de con-. dition, une équation quelconque, car le cercle peut tourner autour de son centre, et la droite peut glisser sur elle* même, sans changer de position. Il faut pourtant tenir compte de la rotation ou du glissement, lorsqu'il s'agira de déterminer la seconde condition ; le mouvement peut changer de nature.
5^ Toute question relative aux roulettes trouve ici une solution directe et générale; cherchons, par exemple, la courbe qui doit rouler sur une ellipse
Tt + m ^ ^^
pour qu'un point de son plan trace son grand axe.
Je prends le point décrivant pour origine mobile ; les équations de condition sont
La seconde s'intègre ; il vient
La constante introduite par l'intégration, est déterminée par les initiales
» // Les formules (3) en rêm^pt^c^ant au lieu de x\ y' des coor-
données polaires et ayant égard aux équaticHi^ de condition deviennent
d'où
k = entier.
Enfin une simple élimination de a, a, entre les équations {a'), (b') , (c'), donnera l'équation de la courbe cherchée,
Lorsque
l'équation ci-dessus devient
rt = Bsin6|.
— It —
Ce dernier résultat constitue le théorème bien omnu de Lahire; une circonférence de diamètre B, roule dans Tintérieur d'une autre de diamètre 2B ; on connaît déjà toutes les propriétés de ce mouvement.
Faisons maintenant rouler la circonférence 2B sur la circonférence B, et examinons ce qui va se passer.
Dans le premier cas, tout point de la circonférence B décrivait un diamètre de la circonférence 2B, il est évident que dans le second cas ce diamètre passera constamment par un point fixe, l'ensemble de ces points constituera la circonférence B. Un point quelconque du plan de la circonférence B décrivait une ellipse ; donc, si l'on trace sur le plan de 2B une ellipse ayant le même centre que 2B, elle passera dans le mouvement inverse par un point fixe. On voit ainsi que si l'on connaît les propriétés d'un mou* vement quelconque, on peut en conclure un grand nombre de propriétés du mouvement inverse.
Voici encore quelques exemples :
Une droite roule sur une chalnettet uo point déterminé du plw mobile décrit upe droite.
Une spirale d'Archimède roule sur uneparabolOi un point du plan mobile décrit son axe de /symétrie.
Une spirale hyperbolique
re = A
roule sur la courbe
By=2AeÂ.
Le pôle de la spirale décrit la droite y =? 0.
THÊORtM I. Soit C^ une courbe plane, R son rayon de courbure au point M, et N k partie de sa normale com-
prise entre M et une droite quelconque L de son plan. Faisons rouler la courbe C» sur une droite L', la-apoite L invariablement liée avec G» enveloppera une cotirbe G^ ; désignons par R' son rayon de courbure, et par N' la^partie de sa normale comprise entre M' (point de G^ qu* on déterokine au moment où M est le centre instantané) et la droite L', on a
On démontrera aisément cette équation en faisant usage de la formule connue de Savary.
Il s'ensuit que la directrice d'une parabole roulant sur une droite, enveloppe une chaînette, la directrice d'une cbatnette un point qui donnera à son tour un cercle , un diamètre de ce cercle enveloppera une cycloïde, et ainsi de suite.
Cette manière d'envisager les questions de la cinématique^ me semble avoir l'avantage d'isoler les théorèmes que cette branche des mathématiques fournit à la géométrie, et de les renfermer tous dans un certain nombre d'équations ; dans le cas qui nous occupe, elles sont les équations (1) . Voyez la note à la fin.
On sait que la mesure du glissement d'une courbe G sur son enveloppe G^ est donnée par l'intégrale,
p, , p^ sont les rayons de courbure des courbes F^ M , qui roulent l'une sur l'autre pendant le mouvement; r , la distance du point de contact des courbes glissantes, à celui des courbes roulantes ; enfin 5, Tare de ces dernières.
Dans le cas des engrenages, p^p., sont constants, et l'on peut se demander les conrbes, G»,, C^, à la condition que la valeur (Q) soit un minimum. On peut supposer pour cela que r et «, sont le rayon vecteur et l'arc d'une courbe qui , roulant sur les cercles primitifs^ engendre par le pôle successivement les courbes C^, C^. Dès lors, les principes du calcul des variations conduisent à l'équation différentielle
O+g) H si) =<"+»•)
Si l'on pose
dy xsrcosOy y = rsm6, -i=p,
elle se met sous la forme
d'où
p = tang(c — e);
l'intégration s'achève aisément , on trouve
X* — y* — 2cary = (f.
11 reste donc démontré que si l'on fait rouler une hyperbole successivement sur les deux cercles primitifs d'un système d'engrenage, et que l'on adopte les courbes tracées dans ces deux mouvements par son centre pour la
construction des dents conjuguées, le glissement sera un minimum.
Le roulement d'aune hyperbole
sur un cercle
est régi par les équations simultanées
(-3- — r*3-5)sm2a — e — 2r-r--r- cos2« — 6 =c% \aa' dotr/ ^ doL doL ^
r, 9, sont les coordonnées polaires de Forigîne^ mobîte
(centre de Thyperbole) ; a l'angle (xa?').
Une courbe C/^, fig. 1, peut être engendrée par un point du plan d'une seconde courbe C^ roulant sur elle-même (*) . Je vais donner le moyen de trouver C^ lorsqu'on se donne Cf et réciproquement.
Mt«#iarfiaitaMWiM«Bi«i^*B**ai««aaMi
(*) Pour exprimer qu'une courbe roule sur elle-même^ il faut poser
aj,=:a?i' yi = yi' On démontrera sans peine que ces équations équivalent à celle-ci :
5 + otang-a = o.
Je remarque pour cela que si le centre d'un cercle paaaant consrtaiiuiie&i par un point fixe fig. 1 , parcourt une courbe €«,, son enveloppe C/^est îdantique avec la courbe décrite par O pendant que C^ roule sur elle-même. En effet, le point-enveloppe O^ d» cercle variable, ae tro<tftè à chaque instant sur la perpendiculaire 00^ , abaissée du point O sur la tangente MT, à la courbe parcourue par le centre, car cette tangente joint les centres de deux cercles infiniment voisins; d'un autre côté si Fou fait fou^ 1er G., sur elle-même (dans ce roulement je suppose que les points homologues coïncident à chaque instant) le pohit O, à cause de la symétrie, fig. 1, coïncidera à chaque instant avec O^.
Soit maintenant
iP) y=F(x),
l'équation de la courbe Cf (le point O est l'origine) ;t l'équation du cercle variable, Ç, t^^ étant les-coordonnéeiy deaon centre, sera
et comme il doit toucher constamment G^
éliminant a?, y, entre les équations (p) , (q) , (r) , on trouvera une relation entre Ç, t; qui sera précisément Téquation de la courbe cherchée G^.
En voici un exemple :
-^ 16 — Soit
(t) a?=A = const.
l'équation de la courbe Gp dans ce cas on a
et par conséquent Téquation (r) se réduit à
Éliminant or, y^ entre (9), (<)» W» il vient,
Ti* = A* — 2AÇ.
C'est donc une parabole ; Téquation x= A. représente sa directrice, et l'origine est à son foyer.
Il est à peine nécessaire d'observer que ce résultat est susceptible d'une généralisation.
Les équations auxquelles on est conduit en étudiant un mouvement plan, sont parfois très-compliquées, et la coulisse de Stephenson nous en donnera un exemple ; il serait donc fort à désirer de connaître un moyen pour l'étudier graphiquement (*).
C'est une méthode pareille que je vais indiquer ici ; elle est remarquable par sa simplicité.
On trace sur une feuille de papier à dessin, bien ten-
(*) Hachette^ dans son Traité historique des machines à tapeur , a proposé de construire un appareil pour le tracé de la courbe à longue inflexion ; mais, pour une autre courbe, on serait obligé de construire un autre appareil, et même d'en inventer, ce qui n'est pas commode.
due sur une planche, tout ce qui est donné sur le plan fixe ; quant aux données sur le plan mobile, on les trace sur une feuille de papier transparent, puis on effectue le mouvement. I3n bon dessinateur obtient des résultats excellents. On peut distribuer sur le plan fixe plusieurs crayons qui traceront en même temps plusieurs courbes, de cette manière on pourra d'un seul coup d*œîl, examiner toutes les courbes tracées par les différents points du plan fixe sur le plan mobile. D'après une remarque faite plus haut, on examinera très-facilement, le mouvement inverse. Les différentes courbes de la fig. 2 ont été tracées de cette manière.
Les formules que j'ai établies sufiisent généralement, pour Fétude des propriétés géométriques des organes, destinés à transmettre le travail moteur dans les machines, et dont le mouvement s'effectue dans un plan. Je vais commencer cette étude par le parallélogramme de Watt et la coulisse de Stephenson.
Le premier de ces appareils a été successivement étudié
par Prony (*) et MM. Vincent (**), Carbonnel (***), Tchebychew (****) . Pour ce qui concerne le second, nous avons un mémoire de M. Phillips (*****), plus les nombreuses expériences qu'on a faites aux États-Unis et qu'on trouvera dans la neuvième livraison de Touvrage de MM. Clark et Zerah Golburn. Le but que ces savants se sont proposé, est différent de celui qu'on se propose ici.
(*) Archltectare hydraulique, Traité def machines à feu. (*') Mémoires de la Société de Lille, années 18361837, — MonTellet annales de mathémaUqnes. t. VII.
(«*•] Mém. de VAcad, de Belgiqtke, t. XX.
C****) Mhn. de VAcad. de Saint-Pétershaurg^ t. Vil (savants étrangers). (*****) Annalet des mines, â* série, t. lU, p. I.
Ar^
