PARALLÉLOGRAMME DE WATT

/ Deux points A, B, du plan mobile tracent sur le plan

Cm ! fixe deux circonférences OA, pB^ ; 0, 0^ sont leurs centres. / Les paramètres clu mouvement sont au nombre de quatre* Soit fjg. 2.

OA = R, 0,B = Ri, 00j = C, AB==D, AÔO.rrsOj, BOiO^eV

0, A, sont les deux origines; 00^, AB, les axes dts x %%x\ Le D(U)uvement se met en équation trèa^faeikment^ il vient

(a + Dcosa— C)* + (6 + Dsinii)"=R«i

oû bien (18) cds«(Rcos6j — C)-f-Rsinasin6j— nR(îos6,==B,

^^ ^ m rejft^âièânt ati lîëti de d, ft, des cOrdbnnées polaires R, B^, et désigtianl

Projetons OABO^ sur 00^, il viendra

(i9) Dcosa — ReosOj— Rcos Ô', = C.

L'élimination de a entre les équations (18), {Ï9)^ don-

nera àpeu près l'équation de M. Carboniiel (*) , mais il vaut mieux laisser figurer Tangle a dans Téqualion (18).

Les formules (3), (A), deviennent dans le cas actuel

tang (d, — a) = ^ = tangOV

Ajoutons la première et la troisième de ces équations, il vient

On retrouve ainsi la condition que deux courbes doivent remplir pour qu'elles puissent former un système de galets. Cette condition a été donnée pour la première fois par Euler.

Les équations {h)\ (3)', s'intègrent facilement, on obtient

$^p sont deux fonctions arbitraires. Il s'ensuit que les ^uatipns des courbes, dont on peut disposer pour faire des galets, doivent pouvoir se mettre sous la forme .(20).

. M. Garboimel ayait considéré cette équation comme celle de la courhi à longue inflexion; ici elle se présente comme condition du mouyement.

Les formules (iy, (3)' ne dépendent point de l'équation (18), de sorte que ces formules seront toujours les mêmes toutes les fois qu'un point du plan mobile décrit un cercle, a doit être considéré comme une fonction de fj » 0^ 9 et c'est précisément de cette fonction que dépend la forme des fonctions arbitraires (20).

Si l'on se donne une des courbes qui doivent former un système de galets, les formules ci-dessus fourniront l'autre, en voici un exemple.

Soit:

une des courbes remplaçant r^B^ par leurs valeurs en fonction de r',0\ on trouve

R-r', = R(r, + a) Or les équations (4)' donnent

rfa-- ''^

d'où

enlio

Il est très-difficile de mettre cette éqaation sous la forme (20).

Déterminons maintenant les courbes F, M.

Il suffit pour cela d'éliminer « entre les équations (18) , (4)', et a, H^ ; entre les équations (18), (3)', ces élimina-

~ 21 — lions ne présentent pas de grandes difficultés ; on trouve

[Rnsin* Oj (r,— R) — (C — r^ cose,) (B -f Rncîose J]* + [Cnsin 6^ (R— r,) — nR*sin 61 cosôj — Br^ sindj]' = (A) [C'+Rr,-Ccose,{R + r,)l«;

[(r^,— R) Rnsin'ô',+ (Rcos 6'^— B) (C + r>cos e'J ]« + [(r', — R)(C + Rncos6',)sine'4^(Rcos6\— B)r',nsin6',]* = [C»+ Cncose\(R4./J + nV,R]«.

Ces équations sont très-compliquées, mais elles se simpliflent considérablement, quand on modifie les paramètres du mouvement.

Supposons

les deux courbes deviennent égales.

En effet, si Ton trace sur le plan mobile, et autour des points A, B, deux ciixonférences de rayons R, B^, elles doivent passer constamment par les points 0,0^; donc dans le mouvement inverse les points O, 0^ décriront ces circonférences , et par conséquent les deux mouvements sont identiques.

N. B. En faisant cette supposition dans les équations de ces courbes, il faut avoir soin de changer dans Tune, B en 180' + 6 pour avoir l'autre, car ce sont les points pour lesquels les angles polaires diffèrent de 180^ qui coïncident à chaque instant.

2"" Lorsque

le mouvement se décompose en deux autres distincts.

En e£ret, d^n^ ce ca9, Téquation (18) se réduit ^

sm ± «e

j sm-a(Roo69|-— C) — RsinOiCos -a =0,

et se décompose en deaz :

sm - 01 =

i RsinO,

^gâ' = Rco8e.-c -

La première représente un mouvement de r^pto^tion (*)• La reptatoire est un cercle. L'élimination de a entre la seconde et (4)' est très-simple ; il vient

''*'^R— Ccos6/

C'est donp une conique, dont les deux centres sont les; foyers, et R le grand axe.

Ce mouvemeiit se réalise au moyen d'un petit appareil connu sous le nom de pendule de White. Le mouvement 4e iBk barre-lourde de ce pendule se réduit au roulement (|'upe ellipse sur elle-même ; on connaît d'ailleurs les galets elliptiques.

gr Lq mouvement se décompose encore lorsque

C = Ri , R = D#

Il est très-facile de voir que, dans ce cas l'équation (10)

[*) Johannis BernouUli, Opéra omniay t. T.

prend la forme