KO, KO
KO', ~'3d~- *""» ?«
KO, KO, p(ft,4-D
KO', ds p(fy tang <p,
d'où
par conséquent (12)
(14) P<->Pcf«D(4^±^)=r~(P-^=ë^'^^^^^
Vpcfi) P(i«i>/ t^ng?i\ ^ /
Nous allons construire maintenant les formules (13) (14) géométriquement ; pour chacune d'elles il y a deux cas à considérer, suivant que l'on prend dans le premier membre le signe plus ou le signe moins, c'est-à-dire suivant que les centres de courbure des courbes M^, F^, se trouvent du même c6té de la tangente commune ou des côtés différents.
Soit T^K, Fig. 4. la tangente commune aux courbes M^, Fj, et C, Cj, leurs centres le courbure, C, C/, ceux de leurs développées. Abaissons sur O^G^ O^G/, les perpendiculaires GT, G^T^, et joignons GT^, G^T; par le point O), abaissons sur ces dernières, les perpendiculaires O^K, OjKj, je dis qu'on aura:
(15) o,Kzfco.K,=p,«, p,,,d(4;;-; ± ^>)
ea effet, le triangle T^O^C,, donne :
TA=ptr«t«ngO»C,T, et le triangle 0,CtT„
P<ft)= p'<fi) **"8 OtCJj donc
' * P(fO
les deoi triangles OjO,K, T,0,C, donnent ëgaleoient,
TA= P(»«) »«n8 T.CO, OjO,= D = 0»K tang T,C O,
et en combinant les deux dernières avec la précédente on trouve définitiTement
Pcfo on aura de même
P<mi)
en ajoutant et en retranchant ceUe«ci de la précédente, on trouve évidemment l'équation (15).
U nous reste à ehereher TexpressioD géométrique des seconds membres des équations (13) (14)« Menons pour cela une circonférence sur le diamètre GC^, elle coupe la tangente commune T^K, au point Q; par ce point, et par le point 0)1 faisons passer une seconde circonférence ayant son centre sur O^C^, cela étant fait on aura :
CP=r Sjbi^ + f c-i,
C^p^ . P^f» Pc»? - ptf,,
la vérification de ces formules à la simple vue ne présente aucune difficulté ; on voit du reste qu^elles complètent la construction que je me suis proposée; en les combinant avec (13) (14) •• •• ect on obtient,
tang(p= %c ^ '
O^KdrOA
ayant ainsi la direction des tengentes aux courbes M^, Fj, nous pouvons, d'après les théorèmes énoncés au commencement de ce mémoire (page 10) déterminer le centre instantané du troisième ordre; sur Cfi\, je prends une Ion* gueur CjA=KKj, je joint AP, et il vient,
<p==PACi
donc une parallèle UO^/à AP menée par le point O^, passera par le centre instantané du troisième ordre. Je prends
ensuite sur CC ume longueur CA'=KK^, je joint PA', et
j'obtient
o,= CAP
donc, une perpendiculaire O^V, abaissée du point O^, sur A'P, passera par le même centre, qui se trouvera par conséquent sur rintersection des deus droites UO^, O^V. Il y a une vérification à faire, en effet le rayon de courbure de la courbe F^, est donné par Téquation:
OA
OJO, C08 (0,0, 0,0j) en projetant donc 0,, sur 0^02, od doit avoir Fig. 4.
?(fl)
cette vérification est indiquée sur la figure.
D'ailleurs on pourrait en faire une autre vérification eu considérant la formule qui donne la valeur du rayon p^mi)? mais je n insiste pas sur des détails, que le lecteur peut deviner aisément.
Dans des cas particuliers les formules (13) (14) et par* conséquent les constructions précédentes se simplifient considérablement.
Supposons en effet,
-fjYi K"n»> = Pvfi)
f(mi) = p(f.o
— soles Courbet F,, M,, sook égales partout et opposent leurs concavités; les formules (13) (14) deviennent
(18) t«g«=^i=^» tang«,=3£^
si Von avait,
les Yaleurs de f , f^ seraient
(20) tang ç = E^ 1 tang ç,=2 ^
on peut vérifier ces formules avec quelques énoncés que j*ai donnés dans un petit article sur les déoeiappées des courbes planes (*).
Dans les cas où la courbe fiie F^, est une ligne droite,
Pcfo
et alors,
(21j tang<p=0, tang(pj=4^^
P C«ni)
mais en combinant (11) (21) on obtient
(22) rtD = pcœi;
(*) Les Monde! t, VIII. p, 620.
ce qui prouve que le centre instaotané du deuiiènne ordre, coïncide k chaque instant avec le centre de courbure de la tourbe M^; sous cette seconde forme, la question a été étudiée par M. Mannheim, et on peut voir que notre formule (21) est en parfait accord avec le théorème que ce géomètre a énoncé dans le tome lY. de la 2* série du Journal de Mathématiques pures et appliquées.
Je passe aux propriétés des courbes décrites par les différents points du plan mobile pendant le mouvement.
Les équations (l)j donnent (22) ^=-3
donc :
Les normales aux courbes^ décrites pendant le mou^ vemeni^ par les différents points du plan mobile^ pas* sent à chaque instant par le centre instantané du pre^ mier ordre.
C'est ce par théorème que la théorie qui nous occupe a commencé. Descartes {*) et Bernoulli C^*) araint déjà donné des cas particuliers et ii des points de vue différents, mais c'est M. Chasles qui Ta mis sous sa forme définitive.
Toutes les fois que nous aurons i étudier les courbes décrites par les points du plan mobile nous supposerons que le point décrivant est l'origine, cette supposition nous dispensera de faire une foule des calculs comme on le verra dans la suite.
Le rayon de courbure de h courbe décrite par I origine est.
(*) Lettres t. II de TedUMn de 4724 p. 39.
(**) De centra spentanco rotationis^ Opert^ t. IV, p. 265«
dx dx^ dx dx^
ci d'après les équations (1)^
OU bien
oo'
002cos(00,.00,)
la construction géométrique de cette formule ne présente aucune difficulté. Soit Fig. 5, TT,, la tangente commune aux courbes M^, F^, et 0^ le point décrivant; on joindra 00^) et par le centre instantané du premier ordre on élèvera une perpendiculaire sur 00^, elle coupera OOj, en S, par ce point' on abaissera une perpendiculaire sur IT^, et le centre de courbure cherché sera en C.
Je vais mettre maintenant la formule (23) sous une forme qui est plus commode souvent aux applications. Pour cela je projette le centre du deuxième ordre sur la droite, qui joint le centre du premier ordre au point considéré. Je pose ensuite
P0^=/>, 00j=r, 0,C=r„ et la formule (23) prendra la forme,
nous allons lire sur cette équation diverses propositions in* téressantes. Faisons successivement les trois suppositions suivantes :
il vient:
Les points de la circonférence qui passe par les centres des deux premiers ordres^ et qui a son centre sur la ligne qui joint ces deux points décrivent des inflexions*
inversement :
Les points de l^ infini tracent des courhes dont les cen^ très de courbure se trouvent sur une circonférence^ qui a son centre sur la normale commune aux deux cour^ bes roulantes ; elle est symétriqument placée à la pre^ cedente. (Mannheim)»
Enfin, si les centres de courbure des courhes roulantes viennent à coincider accidentelement (*), à cette instanty les rayons de courbure des courbes tracées sur le plan fixe sont divisés par le centre instantané du premier ordre en deux parties égales.
Voici maintement une question qui comprend les propositions précédlentes implicitement.
(*) Gela àrrWe toutes les fois qae le centre instantané da denxidniQ ordre passe à l'infini.
Étant donnée tur le plan mobile unç courbe nui, chercher la courbe Ilsn, sur laquelle se trouYent les centres de cour* boure des courbes tracées par touta les points de la coor-
Pour résoudre cette question, rapportons touts les points de la courbe aui deux droites O^T, 0^0,, Fig. 6. toit et x, y, les coordonnées d'un quelquonque de ses points; et x^^y^^ les coordonnées d'un point quelquonque de la courbe ll^n on aura évidemment.
y ~ Yi
et d'après Téquation (21)
— y yi
Dsine Dl/^?:^ DlTa^^^f] l/'^Iff J^'i+Zi
d'où
Dj?,^.
ayant Téquation de la courbe Ilni, on obtiendra Téquation de la courbe Ilsm par une simple substitution. On voit que si la courbe Ilm, est algébrique et de degré m^ la courbe llsni) sera également algébrique et de degré 2 m. Supposons,
• -- • mr-i^. JK « jf. r« V ^ *■-■ *- - *-■■■*» . -. ■^■•-.a =^Mt t -.i^L^Ê^a^m
îl vient -
c'est Téquaiion de la circonférance des centres • • ect conriaissani la tangente k la courbe IIin, on peut trouver celle à la courbe Il^m ^^^ 1< moindre difficulté. En effet différentiant (24) par rapport à Tangle polaire G, qui est corn* mune aux deux courbes et vient
1 dr j i^ dr^ cosft
7^ 56 ■*" ?^ "ar ~ DliîPê
ou bien en désignant par K, K^, les sous-normalei en coordonnées polaires aux deux courbes
P tang e
formule facile k construire géométriquement.
On peut trouver encore le rayon de courbure de la cour« be n^iD, mais ces questions sont faciles k traiter, car on a une méthode un guide, et on les résout en même temps qu'on se les propose ; je n'insisterai pas.
Les propriétés du mouvement inverse conduisent â des résultats qui sont souvent utiles pour la construction des rayons de courbure. •
La courbe M^, roule sur la courbe F^ ; et le point O, quelquonque décrit une courbe, dont le rayon de courbure, est donné par l'équation.
oo!
00,. cos(00,.OiO)
supposons maiotcoant qu'on fasse rouler la courbe Fj, sur Ml, ce qui revient à renverser le mouvement. Le même point décrira sur le plan de la courbe Fi, un arc dont le rayon de courbure R, sera
oo!
en combinant ces deux dernières équations on obtient
DoDC, et c'est un théorème auxquels jVttache une certaine importance :
Le centres instantané du première ordre esi larvtJO' nique conjugué du point décrivant^ par rapport aux centre de courbure des courbes que ce point trace sur le plan fixe et mobile.
Je terminerai ce que j'avais à dire sur le centre înstan* tané du deuxie)ne ordre avec *une simple observation. Pour connaître la position de ce point il n'est pas suffisant de connaître les rayons de courbure de courbes tracées par deux poins du plan mobile sur le plan fixe, il faut encore que ces points ne soient pas en ligne droite avec le centre instantané du premier ordre.
Je passe au centre instantané du troisième ordre.
Le rayon de courbure ^\ de la développée d'une courbe plane est donné par la formule,
, &cfc^ + aS^3? Jadi' did%' (26) p-3?^^^^^^ P A^^V^i^'^
dx dx' dx dx' \^^ '^ dx'J
On j arrivera aisément en suivant les procédés ordinaires da calcul différentiel ; Je passerai sur ces petits dé* tails, que le lecteur pourra rétrouver lui même sans difficulté. Bamplaçant dans Texpression ci-dessus, au lieu de
