CHAPITRE SECOND

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ZI i 1 I

11 “ 8 ’Si-ag-c’

t = j H c y * cos(3i — 2g — - c) ■+■ /T y #a cos (3i — 2g) p £ ? •

En réduisant en nombres le coefficient Hey* K^^sinoo, on le trouve au-dessous d’un céntième de seconde. Mais il importe de ne pas perdre de vue que l’analyse qui nous a conduit à ce premier terme ne suffit pas pour décider si cette inégalité est réellement sensible ou non. Les termes suivans pourraient dévoiler une série divergente, propre à faire voir que l’on s’éloigne beaucoup de la vérité en voulant juger de sa valeur absolue d’après la connaissance du premier terme seulement.

En conséquence nous renvoyons l’examen ultérieur de cette question au chapitre où ces inégalités sont reprises et développées par une autre méthode.

Réflexions sur les méthodes employées par M. de Laplace pour calculer phères Zrnstres.larê“ment dépendant de la différence des deux hémis-

i5S. Observons d’abord qu’en réunissant la valeur de fd'Cl trouvée dans^ le n.° 147 avec celle obtenue dans le n.° i5a, l’on a, en vertu de 1 action et de la réaction ,

' - TZTc J ~ A,» ' cos (3t “ * •

eu faisant ici g = , *|m\ c = l W et i - 1 , fl en résulte

3i-iÿ-c)e.

ternie m ^rrJui?"* ki COefficient "«mérique qui affecte ce premier pas a zéro, comme cela est arrivé dans le n.° 140

fd'a = lü

à l’égard du premier terme du coefficient qui, dans la même intégrale,

affecte l’argument (g — i)p. Il est vrai que dans ce cas l’on s’écarte

beaucoup de la valeur véritable du coefficient — ™ - en

prenant seulement le premier terme de son développement; mais il

est évident que même en prenant pour g et c leur valeur totale

(ce qui revient à faire 3i — 2g — c == o, 00040998), l’on n’aurait

pas zéro pour la somme des deux termes — - — ^ — — - Donc

il n’est pas permis de supposer l’équation J'd'Q = o , à l’égard de l’argument (3i — 2g— c)v. Ce cas particulier confirme ce que nous avons déjà avancé dans le n.° 125, contre la vérité delà proposition générale émise par M. de Laplace au sujet des argumens à longue période. Cette remarque suffit pour démontrer que le calcul exposé dans la Connaissance des Tems pour l’année 1824 (pag. 3o4 et 307) 11e peut pas donner ni le premier ni le second terme que M. de Laplace s’était proposé de trouver, puisque dans son calcul il suppose l'équation jd'Çl = o.

1 56. L’expression du premier terme du coefficient de ce même argument publiée dans la Connaissance des Tems pour l’année 1823 (page 237) mérite un examen plus détaillé.

Remarquons avant tout qu’il manque un terme dans le calcul

de la fonction - ^ - - En effet, si Ton élimine r*dd au

moyen de l’équation ^ -> comme M. de Laplace le prescrit

dans la page 236, et si l’on observe qu’ici l’on peut supposer = 1, l’on aura , en nommant X la fonction précédente ,

v 2 Ç d- d-r* dr }

II sera démontré ci-après (n.° 161) que l’équation r = donne

r^r = hl(^e cosc») - 3 . g>*(3 i - mW

dr h*c . .. (

Donc en prenant = —e suicv , il est évident que le produit de ce terme par $r donne

UtiAi'lHUi SECOND. 175

dr ^ ; 3 i tB c et y* sin eu x sin (3 i — 2g) v

dv 16 h* 3 i—ag — c

3 eBe e, y* cos (3i — 2g — c) p ” 3 a "V 3i — ^ c

En faisant le carré de la valeur précédente de et conservant

seulement les termes multipliés par B , Ton obtient

&r2 = — — 5 3 . ejfsintfi — 2g— c)p 3 y* sin(3i — 2g) v )

Doue, en différentiant cette expression, le diviseur 3i — 2g — c qui affecte 1 argument (3t — 2g — c) p disparaîtra, et il suffira de prendre

dlr'

dv

~ (v, . v* cos(3‘ - v

11 suit de là que si l’on fait u1 = ~ (i *a ecosco), l’on a

y — ”~3-g(i t-af,CTî crU 3 „ 3

V(3i — 2g — c) } 3aC C05(3i — — c) P — ÿ(3i— 2g)y3c0s(3i--2g)p

conclut, en retenant seulement l’argument (3£ — 2.g — c)v,

x = £!£ià-c-l(3 *-**)? a

V(3jzr^r^ — «y, co5(3i — 2# — c)p.

En faisant B = — a h

4 ’ cette expression devient

V(3;ag-C) - eX cos(3i-2ë--c)p.

Ainsi il est évident que M. de Laplace a omis le terme plus con-

urdeXd681'"^6 “!“ mUltif>,ié Paf W-'S), puisque sa vade x donnee dans la page a37 revient à

X = a2EîiïL cosn: , t

8 V(3i-a^-c) C0SiJj ~ 2g~c)v-

M. de Laplace. Pour1 / °j- PeUt suPP0Ser dv = dv, comme l’a fait ment de la loiifm A ° eiû0lUrer observons que d.J désignant Félé-

l’on a l’équationê{ Voyezan°raPPOrt * l orbite décrite dans l’espace,

rVp' =

Donc , en se rappelant que r2 = y À viendra

df

dv

r*dv' ViSr'dv

ïuïr'dv' j a 2i //. **

h u y/ -f- ss ■+■ dv*y

Alors la fonction posée dans la page 236 du volume cité devient

égale à SHudvsmZfv - . et J1 en résulte que la substi-

tution des valeurs elliptiques de a, s, ^ donne le terme

rarfp' w 6 '

ce qui s’accorde avec le résultat trouvé par M. de Laplace, lorsque l'on fait 7— g2 = 7 — i = 6 , et /*6( 1 yy)a = a3.

157, En faisant la correction indiquée plus haut , et réunissant tous les termes auxquels M. de Laplace a eu égard, son expression de Sp devient

$p == ]ÿ cos (3i — 2g — c) p ,

où, pour plus de simplicité, l’on a fait

N - "VW-aMr a n ^ 3i-2g-c$

Pour rendre ce coefficient plus conforme à celui de M. de Laplace , il suffit d’observer que l’on a

g(3»-g-0-* = g(3^ - 2g -+-ga-i = „ __ 3l~ 1 ,

ou bien ( en faisant g = 1 , g2 — 1 = | m2) g&i-g-c) -1 ! , 3

mais nous préférons conserver la forme primitive.