CHAPITRE SECOND. 23c

la valeur de u comme composée de deux parties distinctes. La première sera celle qui satisfait à l’équation

(1) .... ^ ■+■ u ■+* B ■+* Qe cos(? — rxy) = o ; et la seconde sera celle qui donne

(2) . . . . ^ ■+■ u -h 2 U cos(<xv h- j3) = o.

Les coefficiens U et les argumens j3 sont à la vérité composés de quantités constantes et de termes séculaires qui varient avec une grande lenteur; mais, pour ne point augmenter la difficulté de la question que nous traitons ici, nous accorderons que l’équation (2) est satisfaite en faisant

u = 2 ;^37cos(a<; ■+’ Æ) y

ce qui revient à l’intégrer, comme si U et J3 étaient des quantités constantes.

Nous ferons même abstraction des cas singuliers dans lesquels le coefficient a serait une quantité très-peu différente de l’unité, nous réservant de développer plus bas les circonstances qui ont lieu à l’égard

de ces argumens, qui peuvent être assimilés à celui de l’équation du centre.

Tout se réduit donc à intégrer convenablement l’équation (1). Si cette équation était isolée, il n’y aurait aucune difficulté. Mais il s’agit ici de satisfaire à la condition que les deux premiers termes de °Ia valeur de u soient effectivement tels qu’ils ont été présupposés, avant d entreprendre le développement des fonctions de la force pertuibatice. Or, quels que soient ces deux premiers termes, ils doivent être réductibles à la forme

u = A' -h A'A" e cos(v — ar) ;

A, A étant des fonctions des élémens des deux orbites.

Substituons cette valeur de u dans l’équation (1), regardons toutes les quantités comme variables et faisons pour plus de simplicité E — e AA' ; on aura

A' + B + cos(e - w) ^E+eQ-E(i

, , . C cPu ( dvf\

sin(v

dm\ dE j dv y

Jusqu’ici rien ne définit les facteurs dont se compose la fonction Q; mais il est évident que les facteurs du produit eA'A' étant inséparables , on doit regarder Q comme ayant la forme QAA. Donc, en faisant eQ = Q' E , on satisfera rigoureusement à l’équation précédente en la partageant dans les trois suivantes :