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200. Pour décider la question, du moins en ce qui tient à la forme algébrique des quantités cherchées, il est nécessaire d’appliquer les réflexions qui viennent d'être exposées à la partie séculaire du nœud et de Finclinaison de l’ôrbite de la Lune, afin de savoir quelle est parmi ces solutions celle qui ne présente aucune contradiction dans la partie principale de ces deux élémens, déjà connue par tout ce qui précède.
Or il est facile de prouver qu’il faut exclure la solution qui donne
En effet, si l’on suppose calculés les premiers termes de la fonction désignée par P , au moyen du développement de la première des équations (VIH), (Voyez n.° 2 3), on y verra nécessairement un terme du quatrième ordre de la forme A m2 s'2. Cela est sans doute exact a 1 egard de la valeur séculaire de ô, mais le résultat qui en dérive pour y , en substituant la même valeur de P dans la formule y = (/(i-t-P) ’ est incompatible avec notre analyse du paragraphe précédent, où l’on a trouvé
y = r,2 y'2-*- zy^Ncos^-ç - u - £),
S°USa condition expresse que l’existence d’un terme de la forme Ame est impossible dans la valeur de cette fonction.
Concluons d’après tout cela que dans la théorie de la Lune, la seule solution admissible de l’équation
cTs
fa* •+■ 5 P y sin(y — 6) -h 2 Q sin(a!v ■+■ J3') = 0
(en voulant retenir, comme on le doit, dans y et ê la partie séculaire ) est celle que Ion obtient en prenant pour s une fonction de cette forme
s = y sin j i — j/i ■+■ P)dv J ■+■ 2 Q' sin(a!v ^ 0) .
Il est vrai que de cette manière on laisse inconnue la partie séculaire de y qui dépend de y. Mais ayant trouvé dans le n.° 1 86 que la première valeur de s est de la forme
s = ï,sin(y — ■+■ (?) 2 N sin{y — it — 0) ,
on peut regarder comme certain que la véritable forme de l’expression de la variable s est
s = y{sin j — y*(i — Z\ -h p)ds> j «+- 'SNsiniy — it — 0)
-+■ 2 Q' sin(pîv •+■ 0) ;
la fonction 2 N sin(y — it — J3) étant celle qui naît d’un terme de la forme R s qui entre dans l’équation différentielle de 5.
201. L’équation différentielle du second ordre qui détermine la variable u donne lieu à des considérations analogues. Mais il ne suffit pas d’indiquer une telle analogie; il est nécessaire d’entrer dans les détails, afin de mettre en évidence les circonstances qui apportent quelques modifications dans la solution qui concerne la partie séculaire de e et w , et celles qui exigent quelque considération nouvelle relativement à la partie séculaire qui naît du développement de la fonction même désignée par u.
Admettons pour un moment que l’on a développé le second membre de l’équation
cPu
ss)
du ’ Tv
fda
IL dv
dv
dû
udv
et qu’on obtenu un résultat de cette forme
~ ■+• u ■+■ B Q e cos(i> — sr) -+■ 2 U cos(cc v -+■ j3) = o ,
où B et Q renferment , outre les quantités absolument constantes , des termes séculaires, fonction de e et y. D’après cette définition il sera permis de regarder comme très-petits les coefficiens différentiels , ^2 . Cela posé, remarquons que rien n’empêche de concevoir
