CHAPITRE TROISIÈME

d'u JWP

Rn (I H- Q" a rts a /V'C^ ^

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les deux premiers termes de la valeur de u sont de cette forme

u — A6' il F(y) ■+• e cos[y — y*(l — Q') dp] ;

où e désigne un coefficient absolument constant du premier ordre , et F(y) le premier terme qui naît du développement en termes périodiques du radical /i+v

D’après cela, et surtout pour nous rapprocher le plus qu’il est possible (à l’égard des premiers termes) des formes qui ont lieu dans le cas fort simple des forces perturbatrices nulles, nous imaginerons la valeur complète de u partagée dans les trois parties suivantes; savoir

- e cos (cp — / or dp)

où l’on a fait pour plus de simplicité

cv—J'&dv = p — J* ( I — V 1 Q') dp :

— Q! représente la fonction des élémens des deux orbites qui multiplie le terme e cos(cv —J' 57 dv) dans le développement en ter¬

mes périodiques du second membre de l’équation (2).

al I. En négligeant les termes insensibles multipliés par les coefficiens différentiels de a ou de Q', on trouvera que la substitution de la valeur précédente de u dans le premier membre de l’équation (2) donne

W du

‘ a l dS

I^A^r)n, > r 7 * pu \

[ ~ K Q e c^(cp -J* &) h- - R

Mais, en différentiant deux fois la fonction (/i-*-**, l’on obtient l’équation identique

dY(i ■+■ s*) - - / ,1 a,/ 3 tPs\ dsyt

w +j/i+5( — is,)yl-s,

Donc, en observant que s = y sm[p — y*(i — (/ 1 p) dp] , il viendra

* St l~Ps'' (l^^)(I^i>^ô)=I'(I^)^p''4’

/ 2v / 2 d%s\ ds *

1 + /+ Py2 cos(2gv — 2 J èdv) — Py4$irc4(gp ~ fbdsî) ;

ou bien

( i y3— 1 P y4) -+- Py2( i ■+■ | y2) cosfzgv — 2 f îdv) — ^ Py4sirc(4gp ~ 4/" 9c?p) .

Maintenant , si l’on observe que

( I -4- s?)"* Vh = (I -4- 55)”1'- (I -4- s^f1 ,

on verra que au lieu de l’équation (3) l’on a celle-ci

U) Q'e cos(cp -/Wp) - i j/(e, y) ( 1 -y3) (1 -*•«*)" 2 “ ^Ü^y) j |

L^ÎAÏ) />/( ! •4-5^2)"* 3 j|y2-(i-t-|ya)co5(2gP-2/Ô£/p)+|y3co5(4gp-4|àc/p)}

D’après les principes exposés dans le paragraphe précédent 011 doit déterminer le rapport ^ en égalant à zéro la fonction des élémens des deux orbites composée de la totalité des termes explicitement indépendans de (>, qui entrent dans le développement, en termes périodiques, du second membre de cette équation: et la valeur de Q' doit être déterminée en égalant à zéro la fonction semblable qui constitue le coefficient de ^ ~a~ e cos(c^ ~ f &dv) dans le même développement.