CHAPITRE TROISIÈME. 25ç

Après avoir satisfait à ces deux conditions, l’équation (4) prendra cette forme

où a , k9 M, fi doivent être considérées, en général, comme des fonctions des élémens des deux orbites suceptibles de varier avec une lenteur excessive.

212. Cependant il est essentiel de faire observer cpie cette circonstance n’empêchera pas d’intégrer l’équation (5), en prenant

T = ï 2 {jTïpŸ-i-k C<M(W *f$dv) •

En effet, si l’on fait pour plus de simplicité

a [(a ■+■ fi)* — i — k] ’

Ion obtient, en différend ant cette expression de — ^

<*-* +('+l)7= 2(^“ f)cO<<a> *-/&&>)

~ 2 1 a^) ««(<*•» ./J8db) .

Donc, en supposant que

— = ■+• 2 iV C05(ap •+• / $dv)

soit 1 expression exacte de ^ qui satisfait à l’équation (S), on aura, pour déterminer F, l’équation

d?Y rF*

° = 3^ "*• ( 1 fc) r -J^cosfa + J Qfoj

- 2 -t. (a h- 2/3) sin(av * f$dv) .

Mais, par hypothèse, les coefficiens différentiels ~ , —, ^

sont exprimés par des quantités très-petites, composées de termes

périodiques dont les argumens (en comparaison des argumens av+J'fidv) croissent avec une lenteur excessive. Donc la valeur de Y sera donnée par une fonction de la forme

Y = 2 G cos j (a j -+■ 2 G' sin j (oc f fidv J ,

dans laquelle les coefficiens G et G seront nécessairement insensibles. En conséquence il est inutile d’avoir égard à ces derniers termes, et il suffit de prendre

la = 2

Il suit de là qu’en multipliant l’équation (4) par a, Ion peut réduire la recherche de la à l’intégration de cette équation

= aÆ" ^

dv* 1

-/(e, r) Q'e cos(cv-f*sdv) - |/(e, y) (l+y) (l*s‘)~ *- | (' +f(e9 y)Py\l+s*)m a

21 3. Considérons maintenant la troisième des équations (A). E11 faisant pour plus de simplicité

ut = /(e , 7) { ]/TT7f e cos(cv —fvdv) } ,

nous avons ^

a a a \ uj

Donc, en substituant cette valeur de a dans celle de c?î, il viendra

Posons

, dv a* m,"* * (1 ifÜdv) a

i + sf e COi(cp — y* 57<fr) j a =

et représentons par A la fonction des deux élémens e et 7 Ç111

le premier terme non périodique du développement de la

constitue