CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE
JH 3 ii 1 / 27 4s \
■ Sln 2Ev+ 2C mv - 2>-
En réduisant ce coefficient en nombres 011 le trouverait de quarante secondes. Mais une circonstance, dont nous n'avons pas encore parlé, le rend insensible. Voici en quoi elle consiste. Pour plus de simplicité , représentons ce terme par dnt=G.smPvj et remarquons, que , en réduisant l'expression de SR' , due à l'action du Soleil (Voyez p. 273 et 33 1) au seul terme 8R = — 3 mànt .cos 2E0 , 011 aurait par la substitution de ce terme de dnt ;
àR' = — ^mG^sin (2 Ev 4- |3i>) — sin (2 Ev — py) j :
d’où l'on tire, en prenant — ■ = \ ;
— Ç à R* do— — \mG j cos (2£V-*-pv) — cos (2 Ev — p&>) J.
Donc , en considérant seulement les termes affectés des argumens qui ont pour diviseur la très-petite fraction (aiF-h 2c'ra — 2/)*, °n formera l'équation différentielle
— — ( 1 — | m‘ ) Su = — | m3 G { cos (2 Ev -+• /3t>) — cos ( iEv — J ,
ffui donne
àu = j cos (2 Ev — p^) — cos (2 Ev ■+■ fiv) J •
Cela posé , si l’on substitue cette valeur de $u dans le terme — 6sm iEv .§u , appartenant à la fonction %Rt (Voyez p. 2^3),
dRr = — 3m3 G.sinfiv ;
et par conséquent
R,dv=-^cos?Vi 3nt = — 2iL? sin
Donc en réunissant ce terme avec le précédent , on aura $nt= G j i — J sin$v.
En cherchant de la même manière , le troisième , le quatrième etc, terme de ce coefficient, on voit qu’il donnera la série
c’est-à-dire
fat = Gsin^v GB'sinSv '
ou bien , en remplaçant G par sa valeur trouvée plus haut ;
om ~ -simEv + icmv - ofv.
La quantité 9/71* étant très-grande par rapport à (iE + ic’tn — 2/')’ , on peut écrire
J"i = •(| + |m).ji»2£t> + 2cW-2>;
d’où l’on tire , en substituant pour A " sa valeur •
• (^c*, — '06V(^-/71 ysiniEv + ic'mv- î/v*
°r d est évident que ce coefficient est insensible Si Ion objectait, que en posant $u = H .cosfiv, l’équation dff = — 7 sin iE\> .du , donne
—J* àl?.dv = — j cos(2Ev + pv)-hcos(2Ev — . |3p) J
et par conséquent
àu = — m'H[ cos(2Ev-hfiv)-\-cos(2Ev — pv) | •
on ferait disparoître la nécessité de cette considération , en faisant remarquer que cette valeur de du , donne
àE = — 6si7i2Ev.àu=z (3/11*11—3111*11) «n^=o.
2g. Lagrange a considéré l’inégalité ayant pour argument 2ZV-+-2cW-2> dans son Mémoire sur l’inégalité séculaire de la Lune publié en i776 dans le Tome YII des Prix de l’Académie des Sciences de Paris. Mais comme , dans son analyse ( Voyez ce qu’il dit à ce sujet dans les pages i3 , 21 , 44), il supposait nulle l’inclinaison e ^ °^ite ? il est impossible que ses résultats soient conformes à a vérité. Car tous les effets principaux de cette cause perturbatrice isparoissent dés qu’on suppose 7 = 0, et qu’on ne prend pas en considération l’équation différentielle qui détermine la perturbation 9s de la tangente de la latitude. D’ailleurs Lagrange n’a pas remarqué, le dénominateur (2E + 2dm — of)* perdait l’influence qu’il lui attnbuoit par son association avec la quantité 9 .m5, beaucoup plus grande. C’est en vertu d’une cause semblable, que la lente variation séculaire du plan de l’écliptique se trouve paralysée en s’associant au mouvement beaucoup plus rapide du noeud de la Lune , dans 1 expression de la tangente de la latitude de ce satellite au-dessus de 1 écliptique vraie. Néanmoins , ce Mémoire de Lagrange est précieux sous d’autres rapports , et il a du faire germer des idées plus heureuses : c’est là , que la non sphéricité de la Terre à été , pour la première fois , introduite dans les équations différentielles du mouvement de la Lune, avec une lumineuse élégance analytique et il 11 y avait qu’à rétablir les termes dépendans de la latitude * pour découvrir aussitôt l’inégalité , ayant pour argument , qul
affecte cette coordonnée. Mais il était réservé à Laplace d’ajouter , 27 années plus tard, cette importante remarque au travail de Lagrange , et de la suivre dans ses conséquences par rapport à la longitude. Au reste, il n’est pas surprenant si, Lagrange uniquement préoccupé de l’idée d’une équation ayant une période de plusieurs milliers d’années , a négligé de chercher dans ses propres formules les termes sensibles qu’elles pouvaient donner avec des argumens dont la période est d’un petit nombre d’années.
3o. Ce Mémoire de Lagrange offre une autre particularité que je ne puis passer sous silence. L’équation différentielle dont il donne les coefficiens dans les pages 34 et 35 revient à dire , suivant nos dénominations , que l’équation différentielle en doit renfermer les termes suivans :
cl 1 . Si*
dv 1
cos iEv -*r zc'niv
cos iEv -*r ic' mv -
— cv es'" (
cos Ev + cmv
cos Ev + cmv — cv et’b1 ^
cos 3Ev
Or il est démontré dans cet
Ouvrage
, que le premier et le cin
quième terme sont nuis ; et que les coefliciens numériques du second , troisième, et quatrième, sont respectivement égaux à — ^ ? -Hqjr, — g- (Sur quoi Voyez les pages 36, 37 , 345 de ce volume, et les pages 72 , 73 du second volume ).
Ainsi il n’y a pas un seul de ces nombres de Lagrange qui soit exact : et cela j à cause qu’il n’a pas pris en considération toutes
