CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

Sur T évaluation de F intégrale — En')ndt.

53. Pour réduire en nombres les équations séculaires de l’orbite de la Lune , dépendantes de la variation séculaire de rexcentricité de l’orbite de la Terre , il faut avoir préparée la valeur de l’intégrale J\i'% — &'}ndt . En conséquence, je vais m’occuper du calcul de cette formule ; et , pour plus d’exactitude , j’aurai égard aux termes de l’ordre du cube des excentricités des planètes, qui se trouvent dans l’expression analytique de la variation séculaire de l’excentricité de l’orbite de la Terre. Laplace a négligé ces termes ; mais il est indispensable de les prendre en considération , pour éviter l’inconséquence de les négliger tandis qu’on tient compte de la troisième puissance du tems dans le développement de l’intégrale f Y* — E,x ) ndt.

J’adopte , pour un moment , les dénominations établies dans la Mécanique Céleste , relativement à la théorie de la variation des élémens elliptiques des planètes : et je pars du principe ; que , e désignant l’excentricité d’une planète m , on a

de -'è9 / d R V

dt e \ dti )

pour l’expression séculaire du coefficient différentiel due à l’action d’une autre planète m! : pourvu que la valeur de la fonction

t> -*-sg') m*

s°it réduite à la partie explicitement indépendante du tems t qui naît de son développement an termes périodiques , après la substitution des valeurs elliptiques dies- coordonnées.

La partie de R , dépendante de la longitude sr du périhélie de L planète m , qu’on obtient* par une opération conforme à cette définition:, peut «tire représentée par

5po

R= m! ( M' -H M" é' Mw e')ee' cos (w - *')

-hm' Mly e* e'a cos (2 2k') m' My e* ÿ cos (2^—211) :

de sorte que , en faisant |/'ï— e» = 1 — |ea , on a

£= m'ara j M' -4- M" en -h {M"’ - \ M’ ) e1 J e' «»(*'-*)

-4- 2 m' an Miy ee1 sin( ns — 2w) — 2m' an Mv ef sin(2K— 2II).

Cette expression de ~t est relative à l’action d’une seule planète , mais

on aura sa valeur complète, en faisant la somme des quantités semblables qui se rapportent à chaque planète perturbatrice. Le coefficient M' se trouve dans la Mécanique Céleste : ceux désignés par M" , M'" , Mry je les ai calculés directement par la méthode exposée dans mon Mémoire sur la Théorie de Jupiter et Saturne , imprimé dans le Tome 36 de l’Académie des Sciences de Turin. C’est ainsi que j’ai trouvé , que en posant