ET THÉORIE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES

Intégration des équations différentielles en supposant nulles les forces perturbatrices.

^7- En faisant abstraction de toute force perturbatrice, l’on a £1 = c; e qui îéduit 1 intégrale a J\fjpdv à une constante arbitraire positive que nous représenterons par h\ Les équations (VIII) du n.° 2?» se réduisent par conséquent à cette forme:

= rff = ÜL.

à*(i+ss)* hu*

Il est évident que l’intégrale de la première de ces équations est s = y sin(y — ô) ,

où y et ô désignent deux constantes arbitraires, telles que y représente la tangente de 1 inclinaison de l’orbite par rapport au plan fixe, et ^ la longitude du nœud ascendant.

L équation en u est un cas particulier de l’équation ~ iu = R , flans laquelle i désigne un coefficient constant, et R une fonction exp icite de v. Or 1 on sait que l’intégrale complète de cette équation est

Acos{iv — ts ) sin ivJ'R cos iv • dv — cos ivf'R sin iv -dv\

A et w désignant deux constantes arbitraires.

Donc, dans le cas dont il s’agit, nous aurons

U=A cos(v “ «) - y »* * f~~ dv ~ £- cos p dv .

»« “Tir' a,f " '"r de c“ d'“ io,é«"'te- « f*« eïpn-

mer sin cosv en fonct.on de s. Pour cela remarquons que l’on a

P a sinvc°sü~cos 9 sué ; mfl = cos(p-ô) = cost>cosô+sim>sindi

d’où l’on tire

co,p = ««P = ^V(yW) h- icotè.

Donc, en differentiant ces expressions, l’on aura

ce qui change 1 expression précédente de u en u ==

Or l’on

Donc la valeur de u se réduit à

u - A cos( p - w) h- /(y* ,}r - £*£ \

l’on a S (i+ss) i/(r*— ,a)l/

U = Acos(v — nt) H-

Pour simplifier l 'écriture de cette formule , l’on peut introduire une

nouvelle constante arbitraire e, en posant ^=-

ïz —

<7 yt/

\ 1 ss e CO s (y — .

ce qui donne

C«.,e «p,»».,, de u est r.nts.qnsbl, p„ „ i

„„« conséquence tnunéd.ate de 1. théorie d„ ’.,|ipti ““

il paraît qu aucun auteur ne l’ait publiée avant Lagrange qui l’a 1 ’

en ,76e ( Voyez t.nte III des Anciens Méntoires de

rin , page 323 ). le 1 J‘