CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

On sait, d’après les observations, que l'arc p-t-a»— 9 est toujours peu différent de — 1800: cette circonstance range le sinus de — ? parmi les quantités du premier ordre. Donc, en supprimant dans le second membre des équations (Z) les quantités du troisième ordre on les réduira à celles-ci, savoir;

Ji+(dr£)prJ=-3n'(±i£-)(s-6sin,f)-

Telles sont les équations que nous allons intégrer pour avoir la première approximation ; mais nous reprendrons les équations (Z) pour passer de là à la seconde. Nous supposerons, que les valeurs

de ~ , ~ , <7, r qui auraient lieu en vertu des seules circon¬

stances initiales sont nulles. Il est permis d’avoir des doutes sur cette hypothèse; mais en l’admettant, voici comment on détermine les valeurs de p, <7, r qui sont dues uniquement à l’action de la Terre sur le sphéroïde lunaire.

82. La première des trois équations (Z/') peut être intégrée indépendamment des deux autres. Pour cela remarquons, que la longitude de la Lune est donnée par une équation de la forme

v = ni -+- s — pCndt H- ïHsin H ,

en représentant par ZHsinU. la totalité des termes périodiques quon voit dans les pages 618-627 de ce volume: et que la première des six équations (iV) donne, en prenant — 1800 — s pour la constante

arbitraire ajoutée à l'intégration , J^pdt = 9 — <J» — 180 — = , pour lare parcouru par la rotation de la Lune pendant le temps t. Il suit de là que

— 9 -5- 1 8o° = nt — P^ndt pdt -h 2 H sin n.

rj 62 THÉORIE DU MOUVEMENT DE L A LUNE

Donc en observant , que

< ip d'.f pdt d*. \fpdt — nt+fXjidt | ^

Ht dix H*

on pourra mettre la première des équations (Z/) sous la forme (A) . ^L=Zn-\n' (^)sm j iU- rtHsinn\ ,

en posant pour plus de simplicité;

U = pdt — nt

La quantité U étant la différence des moyens mouvemens de rotation et de révolution de la Lune, on peut la supposer fort petite, d’après le fait que la Lune nous présente toujours la même face à très-peu-près. D’un autre coté la quantité ïHsinïl, est toujours égale à un petit nombre de degrés conformément à sa définition. Donc , en vertu de cette double circonstance on peut remplacer le sinus par l’arc dans le second membre de l’équation (K). Alors elle devient immédiatement intégrable, et on en tire, en négligeant le coefficient

différentiel

U=Gsin + - A(^)'

Il suffirait ici de mettre pour Çn le premier terme | irtn{î'—L' )

de son expression (Voyez p. 485): mais il est plus simple de sup' primer tout-à-fait ce terme , en observant que la très-petite quantité e' — E1 donne un quotient fort petit, même en la divisant par o,ooo50?

qui est la valeur probable de

Le terme multiplié par G , qui contient les deux constantes arbi" traires G et > , est celui par lequel Lagrcmge expliqua le premier? comment la Lune peut nous présenter toujours à-peu-près la meme face , sans qu’on soit obligé de supposer, que la vitesse de rotatio*1