CHAPITRE COMPLEMENTAIRE

primitive imprimée à la Lune a été exactement égale à sa vitesse ftioyenne de révolution autour de la Terre.

Il suit de là qu'on a ,

U~f Pdt~nt + J'Çndt=-3(?-74-') ~}jnyIIS'"(ri-T\’

\mlt) ~ ô\ C )

pour l’expression analytique de l’excès du mouvement réel de rotation de la Lune sur son moyen mouvement de révolution autour de la Terre, abstraction faite du terme multiplié par G.

Le facteur - jttA - 7; — , indique la modification que chaque

y d II L> ' A

1 \jïdi) 5 (B- A)

terme de la longitude vraie de la Lune reçoit en se transmettant à son mouvement de rotation : mais il est remarquable que l’équation séculaire soit précisément la même pour ces deux mouvemens.

83. Considérons maintenant la seconde et la troisième des équations (Z/') après y avoir fait p — n: ce qui revient à négliger des termes très-petits , comme cela est manifeste par l’expression précédente de U. Quoique s soit une fonction explicite du temps censée connue, le terme multiplié par Osin 9 qu'on voit dans la troisième des équations (Z ) empêche l'intégration sous cette forme. Mais Lagrange a remarqué le premier qu’on pouvait surmonter cet obstacle par une transformation fort simple, analogue à celle qu'on emploie dans la théorie des inégalités séculaires des élémens des planètes, qui consiste à faire

x = Q.sin<p, y = Q.cos<p.

Eu effet j ces équations et leurs différentielles étant combinées avec les équations (iV) donnent j

dx dy „ „

~üi~r^rpy ’ -3t=~7-px-

Donc, en posant }> = n, il viendra

dr » dlx dy dq d2y dx

dl dl‘ ^ dt î dt ~~~ dt 1 ^ dt *

ce qui transforme la seconde et la troisième des équations (/,') en celles-ci :

( d'y / A B — C\ doc */C~B\

\w>+n{— )iü+n (— )y=°-’

d* oc (B + A — C \ dy # * [ C — A \ o * / C-1 - ~ A \

w-n\—ir—)ii+ 4»(— )^-3« (— )*=°-

Maintenant, il s’agit d’intégrer ces deux équations linéaires, lorsqu’on on y fait s = Z K sin (a. nt -h fi). Mais nous prendrons pour s le seul terme du premier ordre ysingv (qui comprend la partie principale de la tangente de la latitude de la Lune par rapport à l’écliptique vraie) augmenté des termes de la forme qui dé¬

terminent la partie de s due au déplacement séculaire du plan de l’écliptique.

En supposant s = o, et intégrant ensuite les deux équations (L") on aurait la partie de x et y qui contient les quatre constantes arbitraires renfeririées dans leurs valeurs complètes. Mais, pour le moment, nous faisons abstraction de cette partie, et il est seulement question de savoir quelle est l’expression de x et y qui répond à un terme quelconque de la fonction 1K sin^u .nt-i-p).

Soit Ksin^v. .nt- +-|3) ce terme} si l’on fait

— x = QK sin ( « . (3 ) } — y— QK cos ( « . nt 4- (3 ) ,

on trouvera aussitôt que les équations ( L ") seront satisfaites en prenant}

et(A ■+■ B — C)

[A B — C)1-*- t±A (C’ — A)-** B {C — B) j — — A) (C — B) — ABo!*

de sorte que on a 5

— x — 1 QK . sin ( a . 7il-hp ) , — y = z QK.cos ( a . nt ) ,

pourvu que les coefficiens Q et Q correspondans à un argumen1 donné a.nt-hp soient calculés d’après les formules précédentes