CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE
tannée 1780) donne, en négligeant les quantités de Tordre du carré °u du produit de C~~-~ et j
x=zM' sin (nt -4- p'nt -+-/') -h M" sin (i p”nt -4- /" ) ;
y = M' COS (lit -4- pnt -4 “/')+• p" M " COS ( p"nt -h/" ) ;
°ù M\ M", f" désignent quatre constantes arbitraires, et
3 (C — A\ tt ^ f / / C — A\/C — B\ ' ^,1, |/C — A
Ces valeurs de x, y donnent, en négligeant les termes multipliés par U ;
0 sin •} = — M1 sin (p'nt -h/v )
-t-M" j (//'— I) sin ( nt+p"nl -+-/") -+- |) sin (nt — p"nt -f") j ;
Ocos<p-= — M.' cos (p'nt -+- J'1')
—M" j {])"— i) cos (nt +p"nt -t-/'') + i- I) cos (nt —p"nt - f") J .
Les formules (8) (Voyez page 775) démontrent, que ces mêmes valeurs de x , y introduisent dans la valeur de A les termes
— M' sin (nt -4- p'nt + sr-4- /*)
-M" j (p"’+\) sin(p"nt+*+f") - (//- 1) (p"nt - «+/") j . et dans la valeur de n , les termes -4- M' tan g 1 . cos (lit -f- pnt -4- v> -+-/ ')
+ M" tang X j (/>"'+ 1) cos (p"nt + *+/") + (p'"- i) cos (p"nt -*+/") j.
En considérant l’expression de tang (<p — 1 8o°— g.nt) posée dans la page 772, il est aisé de voir, que son numérateur augmente des termes
M'sin | fe-i ) nt-pnt—fl sin(g.nt+p"nt -r/')| y 1 4 -M"(±+p"'} s in (g.nt —p"nt —f") j
et son dénominateur des termes
2 ( M cos \(g-i) ni —put -f | -M" ( \ -/?’") cos(g.nt+p"nt+ /") ) ■M” (-J +/") «« (g-nt — p"nt -f") j
de sorte que 1 expression de — n donnée dans la page 773 sera augmentée des termes
, i M’ sin\{g-i')nt-p,nt-f\ j
' ) sin(g-nt-*-p”nl -h/7') sin (g.nt — p'nt—f ")
94. En réfléchissant sur la forme des argumens, dont les coefliciens sont fonction des trois constantes arbitraires G , M', jfcf", il devient difficile de croire , que l’omission de ces termes puisse avoir eu une influence considérable sur les deux quantités 3(^=^ = 0,0017911,
3 (^ë^) = o, 0016917 3 déduites d’un grand nombre d’observations de la tache Manilius. 11 est vrai , que ces résultats sont loin de s’accorder avec ceux tirés de l’hypothèse de la fluidité primitive de la Lune par couches de densités variables. Néanmoins , il me semble qu’on s approchera davantage de la vérité, en abandonnant cette hypothèse, qu’en attribuant aux valeurs précédentes de 3(^==^, 3^=^) des
erreurs assez grandes , pour pouvoir les regarder comme la cause unique de cet écart entre la théorie et l’observation.
Probablement, de nouvelles recherches fixeront mieux nos idées sur cette anomalie , et nous mettront en état d’apprécier avec plus de justesse tout ce qu’il peut y avoir de réel dans l’ingénieuse
explication donnée par Laplace sur les progrès de la cause, qui d abord fait naître et ensuite détruit le terme
G.sin [rc*
dans 1 expression de la libration en longitude (Voyez page 4i4 du ystème du Monde, cinquième édition).
s il est permis d’appliquer ici une hypothèse émise par Lagrange l oyez page 7 5 du second volume de la Mécanique Analytique) on lra, que ce terme de la libration a pu être anéanti par l’effet d’une explosion interne dans le globe de la Lune; et on accordera en même emps, que sa renaissance, en vertu d’une cause semblable, n’est pas Remontrée impossible.
Note sur le mois Lunaire synodique.
ÿ. Si les mouvemens de la Lune et du Soleil étaient parfaitement uniformes , .1 est évident que, en nommant X le nombre des jours moyens compris entre deux oppositions consécutives de leurs centres oe gravité, on aurait l’équation nX-n'X=36o°, et par conséquent
Cest celte quantité (constante d’après sa définition) qu’on a coù- ^Uie de nommer mois lunaire synodique, ou intervalle moyen entre eux Peines lunes consécutives.
fai|°Ur P°UVo!r déterminer la valeur de X, à l’aide d’observations !Ues sür le mouvement du Soleil et de la Lune dans l’état réel des ^ uses, il faut en avo;r l’expressi0n par d’autres quantités susceptibles etfe mesurées d’après les phénomènes. Pour cela , remarquons d’abord
que , en nommant v , V deux longitudes vraies de la Lune correspondantes aux instans t, T , 011 a
v=nt+t-fïd»+F(i) ; F= nT+ £ -f'çdv + F (T) ,
F (^) 7 F ( 7 étant la somme des termes périodiques. Ces deux éqtiations donnent
(2) . . . V —v=n(T—t) -fidv -hJ\dv + F(T)-F(ty
Soient v, V les longitudes vraies du Soleil, qui ont lieu aux mêmes instans t , T\ on aura semblablement
Donc , en retranchant l’équation (3) de l’équation (2) il viendra
(4) ^ — ^ — c^— A’coi - i/(p-/ft)i ,
et par conséquent ;
w • • (r—v) — {r—v’) — \f'ldv-fÇdv\—\F{ T)—F(t) ) •+• |/( T) —/(O j •
Analytiquement parlant, cette expression ne donne pas la solution du problème, puisque les quantités n et ri, ainsi que les autres élémens des deux orbites, s y trouvent renfermés: cependant, on peut 1 appliquer avec un grand succès , en choisissant convenablement les tems t et T. Ln effet; si ces deux époques sont séparées par un fort
grand nombre d années , la quantité progressive {JX (y* •*/)
pourra devenir incomparablement plus grande que la quantité
composée de termes périodiques : et alors on pourrâ réduire la formule précédente à celle-ci ;
qui a l’avantage d’être indépendante de tout ce qui exige une connaissance approfondie de la théorie de la Lune et du Soleil. Pour en faciliter davantage l’application , on pourrait choisir pour t et T les instans correspondans à deux oppositions , lesquels sont rendus visibles par la pleine Lune : alors, le dénominateur y) — (J7' — y') est égal à autant de fois .36o° qu’il y a eu de pleines Lunes dans 1 intervalle T—t : de sorte que, en désignant par i ce multiple de 36o°, on aura
Pour perfectionner celte méthode, et éliminer l’indécision que laisse l’observation des instans de la pleine Lune , il faudra choisir deux oppositions correspondantes à deux éclipses de Lune , et prendre pour t et T les instans qui ont lieu au milieu de l’éclipse. Ces instans ne sont pas toujours ceux de l'opposition précisément $ mais la grandeur du dénominateur i pourra atténuer Terreur de quelques minutes, que cette manière devoir laisse dan. la mesure de l’intervalle T— t. Les anciens ont employé cette méthode sans savoir au juste le degré de précision dont elle était susceptible. Si Ton veut , dans l’état actuel delà science, connaître la correction qui doit être faite aux évaluations de ce genre du mois Lunaire , on calculera les quantités
R=f\dv-fi \F(T)-F(t)\ - j/(7-)-/«î , qui avaient lieu aux instans t et T, et on prendra
{T— t) 36o° (T — Q3fio° ( R
M—Ii
etc. *
Remarquons maintenant, que l’expression de la longitude vraie de la Rune posée dans les pages 748 , 7 49 ? donne
j88 THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA LUNE
4- 19860", 79g pour la somme des coefficiens affectés du signe -+- > — 946",4i8 pour la somme des coefficiens affectés du signe — S
et qu’en conséquence la quantité R ne peut pas surpasser io° dans les cas les plus défavorables. Si à cette circonstance on ajoute celle-ci 5 que dans les observations d’éclipses on peut supposer la quantité M égale à un nombre exact de circonférences (du moins à l’égard de
la fraction 011 en conclura que
A désignant un nombre entier.
96. Soit Y la durée moyenne de la révolution sidérale du Soleil, nous aurons 36o ° = n'Y : donc en introduisant cette valeur dans
l’équation (1), il viendra
ni
En nommant Y ' la durée moyenne de l’année tropique ou équinoxiale, on sait que
partant nous avons
\I Oj • • T' — 1 12900000!
Le premier membre de cette équation est donné par les observations astronomiques, d’après lesquelles on a 5
(Voyez pages 256 et 3 1 8 du second volume de l’Astronomie de Delambre ): mais si Ion veut exprimer ce rapport plus simplement et avec un peu moins de précision, il faut réduire cette fraction en fraction continue , et former la suite des fractions convergentes : voici ces fractions avec les quotients correspondans :
