La formule du n.° 40 nous donne

tangi^v'—G) = |/\ h- y y tang[ÿ — ô') ,

d’où l’on tire

/ = v ■+■ x sin( 2v — 2Ô') •+■ |a/a$m(4p — 4Ô') •+■ etc.; mais par le même numéro nous avons

= A,3(i + y'Yÿ dv[ - / . (i — e’eY-dv,

ff,!l [1 -*-dcos{y\ — t')]* ~~ y a1 [i-t - e’ cos{y't — r')]a ’

donc , en développant cette fonction et intégrant ensuite , l’on trouvera

n(t+f) = v\ — A'{l)sin(v’-r ) A'(i)sin( ap'- ar ) — A' (3)sin(Sv'- 3 r ) -+■ etc.,

où l’on a désigné par /' la constante arbitraire ajoutée au tems r, et l’on a posé

, l / a' a ,m 1 — e'er)

n ~â/T" A(m)~' m 6 [Ih-|/(i — eV)]OT *

Si l’on néglige les termes multipliés par y4, l’on a

x = \yy et v\ — v ^ sin( 2t/ — 2Ô') ;

donc, en substituant ces valeurs, il viendra

n(t •+■ /') = v —A(l)sin(y -t) ■+• A(2)sin(u> - 2 r) — A(3)sin( îv - 3r) h- etc.

2Ô') [l — A{l)cos(y - r) -h 2A(2)cos(2v - 2r) — etc.] , ou bien, en négligeant toujours les quantités multipliées par y4,

« celles du cinquième ordre par rapport à y et e\

«'(en-/) =

ae«i(p'T') * (3*'V § £>in(2P' ar) - (|£'3)sw(3p'~ 3r) -^V^(3,W-a6>3/V2sin(ar'-2â')+3/V^w(4P-2r'2â.)

la rl Ut 11 eSt démontré,cfue les variations séculaires qui peuvent affecter

supérieur a la seconde pu.ssance des forces perturbatrices Ainsi n!

représenter par les formules n0“bre filU de termes cIue r°» Pel'[

ycoSô'= S.iVC0*(i«H-fl) ' ' Af „

les coefficiens Nia . 7 sin — ^ N sin(it ^ fi) ;

Ces formules donnent Va"ant d’UU tmne à r*««. tanffâ' =

,a S-iV'cof ’

[Aco^^co^'^') etc.]a-+- [Nsin(it-t-fi')-*N'sin(u-*0 P

= 2-iVV a2-A WcosftÜ- ty + g .

« en substituant ces mêmes valeurs de y cosff, y sin& dans 1 équation

11 es< clair que l’o„7 reo*ffAuf' “ ï sinff cos»' ,

Pour calculer les var; • ^sm(v - « - /3).

s cos t ~ y Af'0115 6 ^ Ct r’ l on a des équations de la forme

lesquelles donnent

, E • Msin{l t -h 9e)

tangT — 2 . M cos (i t -+- #)’

e'3 = 2 • Af2 *h • MM'[co5(t' — *— k].

49. La seule inspection de cette expression démontre que la valeur de e a une limite ; car il est évident que son carré demeure toujours plus petit que la quantité (2 -Mf-, la somme 2 -M étant formée en prenant tous ces coefficiens positivement; la même remarque s’applique à l’expression de ya, de sorte que l’on peut affirmer que Ion a toujours

yf < 2 • N,

pourvu que les sommes 2-ilf, 2-iV soient formées comme il vient d’être dit.

E11 examinant l'expression de tangT et celle analogue de tangô\ Lagrange a aussitôt découvert ( Voyez Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1782 , pages 235-238) qu’il serait assez facile de reconnaître si l’angle t peut avoir une limite, ou croître indéfiniment, dans le cas particulier où l’un des coefficiens M surpasserait la somme de tous les autres pris positivement. Mais en calculant ces coefficiens avec les valeurs les plus probables des masses des planètes, l’on trouve que cette circonstance est loin d’être vérifiée soit à l’égard de la Terre , soit à l’égard des planètes inférieures. Ainsi dans l’état actuel de la théorie des variations séculaires l’on ne saurait fixei ni les limites de t et 6' (en supposant quelles existent ), ni le coefficient absolu delà première puissance du tems , qui devrait entrer dans l’expression rigoureuse de ces deux variables, en supposant leur mouvement progressif. La solution de cette question est intimement liée avec celle d’un problème d’analyse , dont Lagrange a senti et apprécié les difficultés , par ce qu’il en dit dans son Mémoire cité plus haut.

50. Cette difficulté disparaît lorsqu’il est question d’avoir seulement les coefficiens différentiels du premier ordre des élémens. Heureusement les intégrations que nous avons à exécuter sont telles que le résultat final n’exige que la connaissance de ces coefficiens. En effet,