CHAPITRE SECOND

considérons l’intégrale

x = Bj'smsin(ki> •+• j3 — m)dv ,

B -> m , étant des quantités constantes. Cette forme comprend

( comme Ton verra ) tous les cas d’intégration qui peuvent se présenter dans la recherche des coordonnées de la Lune.

Pour avoir égard à la variabilité de e, et f9 remarquons d’abord qu en intégrant par parties , l’on obtient

x = — -jr emcos(jkv ■+■ J3 — nr)

Mais nous avons

s cosnr = — — j (ï cos r ;+- |/^ï £ fin, /)" + (6' COi r'~^e

coar -h ^e5ifir)*-(£cosr-^aM/ir)*{;.

donc , en differentiant ces expressions , l’on aura un résultat qu’il est aisé de mettre sous cette forme

il - e'm cos nT’ d,

dv ~~ (m n) — . e m - 1 C05 n Tf

^ne^cos^.y.^co^ *.W

±dmsinnT' de’ .

Tv = (m —n)-d~-s Sinnr

~ ««—*«,(» ijr'- -h ns"~'cos(n-iy.!tl*hï

En substituant ces valeurs dans celle de a:, l’on trouvera

X ~~ ~k 6 cos(kv ut)

*’( m dv (cos nT d ■ ùn(kv 1- $) — sianr d. ■ cos(kv fi)')

jfîn~'coin-iy(cos(kv+l2)±^ï «,(i„ *

iftW-'ün(n- i)r(sin(kv - ««(*„

Or il est évident que, en prenant v pour la variable principale, et posant e cost = ^'Mcos(pv ■+• q) , s siriT = *2'M sïn(pv -+■ q) ,

Ton a

d-e’cosx ' y? nr • / \ d-dsinr’ ^

— Tu — 6=3 - *-Mpsm(pv + q) , — -- — « ^i-Mp cos(pv ■+■ q) ;

donc , en substituant ces valeurs , l’on a

oc = — ~ emcos(kv -+• J3 — nr)

T*(m ”” **)/* 1 5^ (c05 71 T d • -+■ /3) — 5Î/z 72 r'df • co$ (&p •+■ j3)^

Çy?"-'COi(„ C0i((fc -P) p H- J3 ç)

- ^ pm~lsin(n — i)rd-2 sin ((k — p) p + ^ç),

ou bien, en intégrant par parties,

x = ~X" £ cos(kv ■+• fi — 727- ) -t- -p(m — rz) e 7“~I ~ sin(kv -4- J3 — nr)

~ X £""'cos('1 — O7-'2 Êzüj, cos((k - p) o J3 — ç)

*1 e'm~'sin(n - i)r 2 ~ùn((k -p)v + £ 9)

- /3) d • s”1-1 cos re r |

* X /2 - e-ç)J.e”-’cos(n- ,)/

- X Z'2 ri}sin((k-p)v - ^-l)d-em-'sm(n-i)T'.

Si. Les coefficiens désignés par p sont en général très-petits par rapport à ceux désignés par £, de sorte que l’on peut négliger les termes de l’ordre du carré de p , et par conséquent les termes de l’ordre des produits p Par la même raison il est permis