R- cos

Posons

On a tinalenient

d^'>Md(o'.

Cette inégalité nous servira tout à 1 heure.

141. Considérons U,. C'est une l'onction continue sur S. Donc elle a une limite supérieure G^ et une limite inférieure 11^. Kcrivons :

Si le point M est situé sur la surface S, on a :

THEORIE DU POTEXTIEL NEWTOME^

Donc, en désignant (fig. 8G) par U', la valeur de U; en M', on peut écrire :

Si M se déplace sur S, Uj^j varie et atteint son maximum Gi+, en un certain point My et son minimum 11;^, en un certain point M,. Appelons alors :

— 2 -de', —'lrA%, —2rA%

les angles solides sous lesquels dw' est vu respectivement des points :

Dans ces conditions

Or:

Donc on peut écrire

G, = r G^de;

On en conclut

D'où

'iSj

Gi>G.,,.

Ainsi les quantités G; vont en décroissant quand i augmente.

On voit de même que les quantités II; vont en croissant quand i auoincnte.

D'autre part, on a :

de; > M do/

n/':sor.rTioy nr pnoni.iiMK de ninirii let 299

et

(l^i>Mtl(.).

D'où :

De m»'' me :

ii,,.ii.>Mf(u:-ii.)ch./.

Ajoutons incinl)re a miMiihie :

(Gi-nj- :c, , . - II., ,: >M /' (m- il. ^i^^'-

Kl) lin :

:g, — II,; — ;Ci - . — iii . ,> >^i ( (•. — iii /' J^'>'-

Kn outre. Ton a :

S étant laire de la surface S.

Posons :

MS = l — y..

a étant déterminé par cette égalité même. On peut écrire alors :

Comme on a évidemment :

Gj^j — 1I,>(), G. — 1I,>0,

on déduit de là :