XX'+\V+ZZ

enfin le produit P,p + i p**'^* ne contient plus de radical et est homogène et de degré 2p + 1 en x, y, z. Bref, quelle que soit la parité de n, P„p'est un polynôme entier, homogène et de degré n en x, y, z.

Si Ton considère alors le terme général de la série (2)

on voit que ce terme est aussi un polynôme entier en x, y, z, homogène et de degré n.

On démontre en outre que ces polynômes X„ satisfont à l'équation de Laplace

Ce sont des polynômes sphèn'quesy car on appelle, en général, de ce nom des polynômes homogènes en x, y, z satisfaisant à Téquation de Laplace. Le potentiel V est ainsi développé en série de la forme

Donc le potentiel newtofhien est développa ble en série de pal y ^ nomes sphériques autour de l'origine^ quand Vorigine est extérieure aux masses agissantes.

Dans ce développement, les termes de même degré sont groupés ensemble; si Ton essayait de les grouper autrement, la série pourrait cesser d'être convergente.

C'est là un fait général pour les séries qui ne sont pas absolu-

POiifCÀRÉ. Potent. Newt. 4

^«> THÉORIE Dr poTEyriEL yEnrosiEy

menl coiivergenles ; on ne peut pas modifier arbitrairement Tordre des termes. Kii voici un exemple simple; la série suivante de polynômes homogènes :

i+ .'^ + iv + x+iy *+ -|-;x + iy;."+ ,

où Ton suppose

x + iy I < I,

est convergente et a pour somme