OA
st, par les points de division A,, A,,..., A,, traçons des demi-circonférences concen^J trii[ues ii la grande et limitées au m^me 1 diamètre. On purtiige ainsi le demi-cercle ] j. 1^ en demi-couruiines, dont le nombre est illi-
mité et ijui ont toutes même action au centre 0. l.'nllraïuion totale est donc infinie.
54. Potentiel logarithmique d'une li^e attirante. — Tous les J résulliits i.l.leniis, dans rètiuli- des siirlaccs attirantes, s'étendent \ au potentiel lugarilliniiqiie d une ligne utlirunte plane.
La composante tangentielle reste continue, quand on traverse ] la ligne; la composante normale fait un saut brusque de 2tT|i, J quand le point attiré traverse la ligne, en un point où la dcnsité^g est |i. Quant au potentiel, il n'éprouve aucune discontiu
55. Remarque sur un lemme fondamental dans la théorie de&f surfaces attirantes. — Vn lemme a joué, dans toute cette théorie,.!] un rôle fondamental. C'est I
l.'intéK
/• f(x'./)dx- dv-'
tegra
est une fonction continue de x.y.z, si la fonctic en lout point du champ d'intégration (42),
f resie lîmîtéel
Nous avons fait usage aussi du lemme suivant. I/intégralo
t f (x,z) dx 7^- '
dx
tend vers 1 — 7— r > quand z tend vers zéro et que / auffmenl*
indéfiniment, pourvu que certaines conditions énumérées au paragraphe 43 soient remplies.
Ces deux lemmes sont des cas particuliers du théorème suivant.
Théorème. — Soit l'intégrale :
étendue à un certain domaine S.
Supposons :
1** Que le contour C qui limite S ne dépende pas de z. 2** Que l'on ait en tout point de S :
^ étant une fonction positive.
3® Que rintégrale '
J cp dxdy,
étendue au domaine S, ait un sens.
4^ Enfin, que l'on ait
Lim. = of(x,)S2:; = l(x, y, 0),
quels que soient x et y, pourvu qu'ils restent fixes. Dans ces conditions, on a hi relation :
Lim,oJgj f(x, y, z) dxdy =J^^^ f 'x^ y, 0) dxtl).
56. Potentiel nei^onien d'une ligne attirante. — Soit (iig. 39) L une ligne attirante, jjl' la densité linéaire variable d'un point ii
TUÉOniE DV POTEiyrlEL XEWTOy} EN
l'iiutre de celle ligne. Soil, point extérieur ii L, ninis sit mené piii' ^I,,. Nous nous |n
mire. M,, un point de L et M uor
Inns le plan noriitiil ii la cour!
sons de voir ee que dcvicat Iffl potentiel newtocic M, lorsque ce point tendt vers M, en suivant ll^ normale MM„.
Appelons ds' un élé^ ment de longueur de !i ligne L, P le- centre deJ gravité de cet èlêraeulfl
^, ^ r la distance MI*; le I potentiel, en M, a pour J expression rintégralfra curviligne :
Fig. 1(1.
étendue a tous les i ments ds' de L. l'oUM l'étudier, prenons pour!
origine des coordoo-r nées Mj, pour axe des X, lu tangente en M,, et des axes recliinga-J laires. Appelons (J, y, z les coordonnées de M,x',y', t! celles de Pj;! projetons P en P' sur l'axe x'x; les coordonnées de P'sont : x' 0,0.] Menons les droites M,P, M„P', MP, MP' et posons :
= MM
