DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES

Dès les débuts du Calcul intégral, on est arrêté par des difficultés insurmontables quand on veut calculer la fonction dont la dérivée dépend d'un radical carré recouvrant un polynôme du degré supérieur au second. Cette difficulté provient de ce que la fonction cherchée dépend de nouvelles transcendantes irréductibles, comme l'a prouvé M. Liouville, aux transcendantes étudiées dans les Éléments ou aux fonctions algébriques. Legendre, qui soupçonnait cette irréductibilité, s'est surtout attaché à étudier les propriétés analytiques des transcendantes les plus simples auxquelles conduit le Calcul intégral, et a créé la théorie des fonctions elliptiques.

On donne le nom ^intégrales elliptiques à des intégrales de forme simple, auxquelles on peut ramener les intégrales de la forme

(i) V=/F(^,j)Jx,

où V[x,j) désigne une fonction rationnelle de x et de y, et où j représente un radical de la forme

y = \Jk.7:' -t- tàx^ -+- C.r;^ -i- Dx -1- E,

A, B, C, D, E désignant des coefficients constants. Nous supposerons le polynôme placé sous le radical décomposé en facteurs, et nous aurons

j = V/G(^ — a) (j^ — p) (x — 7) (a- — o") , G désignant un nombre quelconque réel ou imaginaire.

On simplifie la formule (i) en posant

on trouve alors

4> (Ç, 73) désignant une fonction rationnelle de ^ et de tj, et rj désignant le radical

jr = v/G[«-aH-(6-a)^J[a-fJ + (6-p)§]....

Les puissances impaires de ^ sous le radical disparaîtront si Ton pose