L. Fond, dlipt

( 34 ) grale prise le long d'un chemin qui, avec xi, forme

un contour fermé ne contenant pas l'origine où - est

infini, donnerait la même valeur \ogX', mais si, pour aller de i à x, on suit un chemin qui enveloppe le point o, tel que celui qui est figuré en pointillé, l'intégrale prise le long de ce contour, augmentée de l'intégrale prise le long de j:i, sera égale à l'intégrale prise le long d'un cercle de rayon très-petit décrit autour du point Oj on aura donc, en se rappelant que celte dernière est égale à ± 2 t: y/ — i ,

— — log.r =: — 1iT\

Je mets — 2 t: y/ — i , parce que l'intégrale doit être prise dans le sens rétrograde 5 on a donc dans ce cas

dx

log^

;Tr\/-

Si, au contraire, la figure avait la disposition ci-dessous on aurait

I — =loga: 4- 27r^— I, Fig. 8.

Il y a plus, si, au lieu de suivre un contour simple comme les deux précédents, on suit un contour entourant 2, 3, 4) • • • fois l'origine, tel que celui ci-

( 35 ) is fois,

= \ogx -4- 2,4,6. . .7r ^ — i;

dessous qui l'entoure trois fois, il est clair que l'on aura

Fis- 9-

^&Sn

dans le cas de la figure, on a

— ==loga: + Gks/ — I.

Ainsi la valeur générale de l'intégrale considérée est

logjrrt T-fi-iv sj — I ,

^ désignant un entier, et ces valeurs de logor sont inséparables les unes des autres-, ainsi, quand le point x passe en a pour la seconde fois, l'intégrale y acquiert une valeur égale à la précédente augmentée de 2 7r, et cela en 'vertu de la continuité ; en d'autres ternies, on ne pourrait assigner à logx une valeur déterminée en a qu'en rompant la continuité de celle fonction. Si l'on considère l'équation

dr dy

on en tire d'abord

C'' dx r^dy J, -"^J. y=const.,

( 3G ) ce que l'on peut écrire

(i) logj: + Iog7 = Ioga,

a désignant une constante. Mais on en tire aussi

ydx ■+- xdy = 0, OU

(2) xy = b^

h désignant une constante. Les formules (2) devant être identiques, faisons x = i ; (1) donnera log^= loga et (2) donnera j^= è, ce qui exige que a=^b. Des formules (i) et (2) on tire alors, en remplaçant b par a,

logj:+logj = logxj,

ce qui est la propriété fondamentale de la fonction logaritlimique.

La fonction inverse de logx sera représentée par e{x), en sorte que, si

jr=:log.r,

on aura

la propriété fondamentale des logarithmes donne la propriété fondamentale des exponentielles

ce qui conduit à écrire

et comme l'on a

log.r = j -h 2 X-TTv/— I ,

y désignant l'une des valeurs de logar, on a

la fonction e' est alors périodique et a pour période

aÂTT^/ — â. De la formule

on tire

ilr.

pétant le logarithme de x, on voit que la dérivée delà fonction exponentielle e^ prise par rapport à y est celte fonction elle-même \ on est alors conduit à représenter e' au moyen d'une série, et sa théorie s'achève comme dans les éléments.

On voit ainsi que la découverte de Neper eût été faite par les inventeurs du Calcul infinitésimal dès les débuts du calcul inverse.

DES DIVERS CHEMINS QUE PEUT SUIVRE LA VARIABLE DANS LA RECHERCHE DES INTÉGRALES DES FOWCTI0^8 ALGÉBRIQUES.

Toute fonction algébrique y étant monodrome à l'intérieur d'un contour ne contenant pas de point critique, son intégrale sera nulle le long d'un pareil contour; donc :

i" L'intégrale prise le long d'un contour quelconque Xf^x pourra être remplacée par l'intégrale prise le long du contour recliligne Xt^x^ si entre ce contour et le contour donné il n'existe pas de point critique.

2° Si, à l'intérieur du contour C formé par le chemin rectiligne et le chemin donné, il existe un point critique a, on pourra remplacer le chemin donné par un autre allant de x^ vers un point a très-voisin du point critique sans sortir du contour C, tournant ensuite le long du cercle décrit de a comme centre avec a.a pour rayon, revenant en a, puis en x^ par le chemin « jTo in-

(38 ) verse du chemin Xf^c/. suivi tout à l'heure, enfin allant par le chemin rectiligne de x^ à x. En efTel, le nouveau chemin et l'ancien ne comprennent entre eux aucun point critique.

Fig. 10.

Le chemin formé d'une ligne allant de a*o au point a voisin du point critique a, tournant autour de ce point et revenant eu x^, par la route déjà suivie pour aller de jCo, est ce que l'on appelle un lacet.

Nous avons figuré ci-dessus un lacet en séparant l'aller du retour pour bien montrer comment le lacet peut se substituer au contour C.

3° Si, entre le contour C formé par le chemin rectiligne et le contour donné, il existait plusieurs points critiques, on pourrait remplacer ce contour par une série dé lacets suivis de la droite x^x.

4** Supposons que le contour d'intégration donné rencontre la droite x^x^ en p^q.

Fi(j. II.

On pourra remplacer le chemin x^^lp par une série de lacets eV par la droite x^p-^ on est alors ramené au

( 39 ) chemin Xopmq, que l'on peut remplacer par une série

de lacets suivis de xq^ et ainsi de suite j donc :

Théorème. — Tous les chemins que Von peut suivre pour aller de Xa en x peuvent être remplacés par une série de lacets ajant leurs origines et leurs extrémités en Xo, suivis du contour rectiligne XqX (*).

Nous dirons qu'un lacet unit deux valeurs j^, ^' JT/ quand ces deux valeurs de y se permutent Tune dans l'autre lorsque l'on suit ce lacet.

Mais nous préciserons encore davantage : en général, en suivant un lacet, on ne permute que deux valeurs de la fonction j^; toutefois il pourra se faire qu'en suivant un même lacet plusieurs fois de suite, on obtienne une permutation circulaire des valeurs yiiji^ ^'s? • • • de ^5 nous considérerons comme distincts tous les lacets parcourus avec des valeurs initiales différentes dey. Ainsi, par exemple, si le point a est un point critique ordinaire, deux racines y,- et yj, se permuteront l'une dans l'autre en parcourant ce lacet; nous le supposerons double, mais seulement pour la commodité du langage, en sorte que, s'il est parcouru avec la valeur initiale yt, nous le considérerons comme formant un premier lacet unissant y^ à y/,, et s'il est parcouru avec la valeur initialej^i, nous le considérerons comme un second lacet distinct du premier et unissant yi, à r,-.

De même, si au point a trois valeurs j',, y/,,X* ^^ P^^" mutaient entre elles, on aurait à considérer le lacet correspondant comme triple : l'un des lacets simples unirait yi à j-j et serait parcouru avec la valeur initiale 7^, et

(*) Il VA sans dire que nous supposons que le chemin rcctili(jne x^x ne rencontre pas de point critique. S'il en rencontrait un, ce qui n'arrivera que dans des cas tout particuliers, il faudrait, pour l'exactitude du théorème, éviter ce point en déformant le contour rectiligne.

aînsi de suite. Ainsi, au mot lacet est a Hachée l'idée d'un chemin et l'idée d'une valeur initiale de y bien déterminée.